Wykresy kolejno: drogi, prędkości i przyspieszenia w funkcji czasu w ruchu jednostajnym prostoliniowym przy założeniu, że położenie w chwili początkowej opisuje liczba 0. Ruch jednostajny prostoliniowy – ruch jednostajny po torze prostoliniowym , czyli ruch odbywający się wzdłuż prostej ze stałą prędkością . Zgodnie z I zasadą dynamiki Newtona ciało porusza się po torze prostoliniowym (lub pozostaje w spoczynku), jeżeli na ciało nie działa żadna siła lub działające siły się równoważą.
W ruchu jednostajnym prostoliniowym wektor prędkości jest stały, co oznacza, że jego kierunek (i zwrot ) nie zależą od czasu; w związku z tym szybkość, czyli wartość bezwzględna prędkości, również jest stała. Oznacza to, że przyspieszenie jest równe zeru, a prędkość średnia równa jest prędkości chwilowej . Ponadto wartość bezwzględna przemieszczenia (zmiany położenia) jest równa drodze pokonanej przez ciało.
Ponieważ prędkość w ruchu jednostajnym nie zależy od czasu, tzn. zmiana położenia w równych odstępach czasu jest stała,
v
t
=
v
=
c
o
n
s
t
,
{\displaystyle \mathbf {v} _{t}=\mathbf {v} =\mathrm {const} ,}
czyli droga zależy wprost proporcjonalnie od czasu:
Δ
x
t
=
x
t
2
−
x
t
1
=
v
(
t
2
−
t
1
)
=
v
Δ
t
,
{\displaystyle \Delta \mathrm {x} _{t}=\mathrm {x} _{t_{2}}-\mathrm {x} _{t_{1}}=\mathbf {v} (t_{2}-t_{1})=\mathbf {v} \Delta t,}
gdzie
Δ
t
=
t
2
−
t
1
>
0
{\displaystyle \Delta t=t_{2}-t_{1}>0}
przemieściło się o
Δ
x
t
=
x
t
2
−
x
t
1
,
{\displaystyle \Delta \mathrm {x} _{t}=\mathrm {x} _{t_{2}}-\mathrm {x} _{t_{1}},}
Δ
s
t
=
s
t
2
−
s
t
1
=
|
x
t
2
−
x
t
1
|
=
|
Δ
x
t
|
=
|
v
|
Δ
t
=
v
(
t
2
−
t
1
)
,
{\displaystyle \Delta s_{t}=s_{t_{2}}-s_{t_{1}}=|\mathrm {x} _{t_{2}}-\mathrm {x} _{t_{1}}|=|\Delta \mathrm {x} _{t}|=|\mathbf {v} |\Delta t=v(t_{2}-t_{1}),}
gdzie
v
=
|
v
|
{\displaystyle v=|\mathbf {v} |}
szybkość . Oznacza to, że po czasie
t
2
{\displaystyle t_{2}}
x
t
2
=
v
(
t
2
−
t
1
)
+
x
t
1
.
{\displaystyle \mathrm {x} _{t_{2}}=\mathbf {v} (t_{2}-t_{1})+\mathrm {x} _{t_{1}}.}
Podstawiając
t
=
t
2
{\displaystyle t=t_{2}}
t
1
=
0
,
{\displaystyle t_{1}=0,}
równanie ruchu przyjmuje postać
x
t
=
v
t
+
x
0
,
{\displaystyle \mathrm {x} _{t}=\mathbf {v} t+\mathrm {x} _{0},}
a przebyta droga wyraża się wzorem
s
t
=
|
x
t
|
=
v
t
+
s
0
,
{\displaystyle s_{t}=|\mathrm {x} _{t}|=vt+s_{0},}
gdzie
t
{\displaystyle t}
x
0
{\displaystyle \mathrm {x} _{0}}
s
0
{\displaystyle s_{0}}
v
{\displaystyle \mathbf {v} }
v
{\displaystyle v}
Jeżeli ruch opisany jest za pomocą położenia
x
{\displaystyle \mathrm {x} }
t
{\displaystyle t}
funkcja (całkowalnej )
x
t
,
{\displaystyle \mathrm {x} _{t},}
długości krzywej przez nią wyznaczanej. Ponieważ prędkość jest pochodną drogi względem czasu,
v
t
=
d
x
t
d
t
,
{\displaystyle \mathbf {v} _{t}={\frac {\operatorname {d} \mathrm {x} _{t}}{\operatorname {d} t}},}
to przy oznaczeniach jw. przemieszczenie można wówczas wyrazić całką oznaczoną
Δ
x
t
=
x
t
2
−
x
t
1
=
∫
t
1
t
2
d
x
t
=
∫
t
1
t
2
v
d
t
=
v
(
t
2
−
t
1
)
{\displaystyle \Delta \mathrm {x} _{t}=\mathrm {x} _{t_{2}}-\mathrm {x} _{t_{1}}=\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}\operatorname {d} \mathrm {x} _{t}=\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}\mathbf {v} \operatorname {d} t=\mathbf {v} (t_{2}-t_{1})}
przy czym prędkość jako stałą
v
{\displaystyle \mathbf {v} }
t
=
t
2
{\displaystyle t=t_{2}}
t
1
=
0
{\displaystyle t_{1}=0}
x
t
=
v
t
+
x
0
.
{\displaystyle \mathrm {x} _{t}=\mathbf {v} t+\mathrm {x} _{0}.}
Droga to długość krzywej , tzn.
Δ
s
t
=
s
t
2
−
s
t
1
=
∫
t
1
t
2
|
d
x
t
|
=
∫
t
1
t
2
|
v
|
d
t
=
v
(
t
2
−
t
1
)
,
{\displaystyle \Delta s_{t}=s_{t_{2}}-s_{t_{1}}=\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}|\operatorname {d} \mathrm {x} _{t}|=\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}|\mathbf {v} |\operatorname {d} t=v(t_{2}-t_{1}),}
czyli dla
t
=
t
2
{\displaystyle t=t_{2}}
t
1
=
0
{\displaystyle t_{1}=0}
s
t
=
v
t
+
s
0
.
{\displaystyle s_{t}=vt+s_{0}.}
