Graniczna liczba porządkowa

Graniczna liczba porządkowa – liczba porządkowa, która nie jest następnikiem innej liczby porządkowej. Bardziej precyzyjnie liczba porządkowa $\lambda$ jest graniczną liczbą porządkową wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej innej liczby porządkowej $\alpha <\lambda$ zachodzi $\alpha +1<\lambda .$

Liczba porządkowa jest graniczna wtedy i tylko wtedy, gdy jest równa sumie (teoriomnogościowej) swoich elementów (w przeciwnym wypadku suma ta jest poprzednikiem). Liczba 0 również spełnia definicję liczby granicznej, jednak czasem ze względów technicznych matematycy nie zaliczają jej do ich grona.

Przykłady

Żadna skończona liczba porządkowa (liczba naturalna) większa niż 0 nie jest graniczna.
$\omega$ jest liczbą porządkową graniczną – istnienie tej liczby gwarantuje aksjomat nieskończoności.
Istnieje nieprzeliczalnie wiele przeliczalnych liczb porządkowych granicznych.
Każda liczba epsilonowa jest graniczna.
$\omega _{1}=\mathbb {H} (\omega ),$ gdzie $\mathbb {H}$ oznacza wartość funkcji Hartogsa na zbiorze $\omega ,$ jest najmniejszą nieprzeliczalną liczbą porządkową, będącą jednocześnie liczbą graniczną.
Każda liczba kardynalna jest liczbą porządkową graniczną.

Przykładami porządkowych liczb granicznych są:

0,\omega ,\omega +\omega ,\dots ,\omega \cdot n,\dots ,\omega ^{2},\dots ,\omega ^{m},\dots ,\omega ^{\omega },\omega ^{\omega ^{\omega }},\dots ,\varepsilon _{0}=\omega ^{\omega ^{\omega ^{\ldots }}},\dots .

gdzie $n$ i $m$ są dowolnymi liczbami naturalnymi.

Bibliografia

Aleksander Błaszczyk, Sławomir Turek: Teoria mnogości. Warszawa: PWN, 2007.
Wacław Sierpiński: Cardinal and ordinal numbers. Wyd. drugie poprawione. Warszawa: PWN, 1965.