Dysjunkcja (Sheffera)

Dysjunkcja, dyzjunkcja, dysjunkcja/dyzjunkcja Sheffera, funkcja Sheffera, funktor Sheffera, NAND, w terminologii Jana Łukasiewicza niewspółzachodzenie – zdanie lub funkcja zdaniowa utworzone za pomocą funktora dysjunkcji, jednego z dwuargumentowych funktorów zdaniotwórczych rachunku zdań. Symbolem funktora dysjunkcji jest przeważnie ukośna kreska / (tzw. kreska Sheffera). W języku potocznym funktorowi temu odpowiada „nieprawda, że p i q” (ponieważ dysjunkcja jest negacją koniunkcji) lub „zachodzi najwyżej jedno z dwojga” (por. artykuł „Funktory klasycznego rachunku zdań a jęz. naturalny”). Pojęcie dysjunkcji wprowadził w 1913 Henry Sheffer.

Uwaga: w terminologii angielskiej disjunction to polska alternatywa, odpowiednikiem polskiej dysjunkcji (Sheffera) jest natomiast alternative denial.

Wartość logiczna

Zdanie utworzone za pomocą spójnika dysjunkcji jest fałszywe tylko wtedy, gdy prawdziwe są oba argumenty tego spójnika; w przeciwnym wypadku jest zawsze zdaniem prawdziwym.

Tablica prawdy dla dysjunkcji

$p$	$q$	$p/q$
0	0	1
0	1	1
1	0	1
1	1	0

gdzie: 1 – zdanie prawdziwe; 0 – fałszywe

Wybrane własności

Funktor dysjunkcji posiada pewne własności interesujące ze względu na ekonomię zapisu: prócz binegacji jest jedynym funktorem, za pomocą którego można zdefiniować wszystkie inne; ponadto jest jedynym funktorem jedynego aksjomatu dysjunkcyjnego rachunku zdań.

Twierdzenie, że za pomocą funktora dysjunkcji zdefiniować można wszystkie pozostałe, pochodzi od logika Henry’ego Sheffera, który opublikował je w 1913 w artykule A Set of Five Independent Postulates for Boolean Algebras, with Application to Logical Constants. Wcześniej na ten pomysł wpadł Charles Peirce (artykuł A Boolian Algebra with One Constant z 1880), lecz nie został on opublikowany za jego życia (ukazał się dopiero w tomie 4. dzieł zebranych Peirce’a, wydawanych w latach 1931–1958). W 1925 Eustachy Żyliński udowodnił, że nie istnieje żaden inny niż binegacja i dysjunkcja funktor rachunku zdań, przy użyciu którego zdefiniować można wszystkie pozostałe.

Inne funktory logiczne definiowane są w sposób następujący:

$\neg p\iff p/p$

$p\wedge q\iff \neg \neg (p\wedge q)\iff \neg (p/q)\iff (p/q)/(p/q)$

$p\vee q\iff \neg \neg (p\vee q)\iff \neg ((\neg p)\wedge (\neg q))\iff \neg ((p/p)\wedge (q/q))\iff (p/p)/(q/q)$

$p\to q\iff p/(q/q)\iff p/(p/q).$

Funktor dysjunkcji stanowi jedyny termin pierwotny rachunku zdań w stylizacji zwanej dysjunkcyjnym rachunkiem zdań. Dysjunkcyjny rachunek zdań jest jedyną formą klasycznego rachunku zdań, w której występuje tylko jeden aksjomat. Jest nim aksjomat Nicoda-Łukasiewicza, sformułowany przez Jeana Nicoda (A Reduction in the number of the Primitive Propositions of Logic, 1917), uproszczony przez Jana Łukasiewicza (Uwagi o aksjomacie Nicoda i o „definicji uogólniającej”, 1933).

Bramka logiczna

Realizacją operacji NAND w elektronice jest bramka logiczna NAND. Oznaczana jest symbolem:

Linki zewnętrzne

• Artykuł Nicoda A Reduction in the number of the Primitive Propositions of Logic w Wikisource