Przejdź do zawartości

Wartość oczekiwana

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii

Wartość oczekiwana (wartość średnia, przeciętna, dawniej nadzieja matematyczna) – pojęcie z rachunku prawdopodobieństwa oznaczające średnią, ważoną prawdopodobieństwem, wartość zmiennej losowej. Intuicyjnie, jest to spodziewany średni wynik doświadczenia losowego przy jego wielokrotnym powtarzaniu[1].

Wartość oczekiwana jest pierwszym momentem zwykłym.

Estymatorem wartości oczekiwanej rozkładu cechy w populacji jest średnia arytmetyczna.

Definicja formalna

[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli jest zmienną losową na przestrzeni probabilistycznej o wartościach w to wartością oczekiwaną zmiennej losowej nazywa się liczbę

[2] o ile ona istnieje, tzn. jeżeli:
[3].

Zmienna dyskretna

[edytuj | edytuj kod]

W przypadku, gdy zmienna losowa ma rozkład dyskretny i przyjmuje tylko skończenie wiele wartości z prawdopodobieństwami wynoszącymi odpowiednio to z powyższej definicji wynika następujący wzór na wartość oczekiwaną [4]:

[5].

Jeżeli zmienna przyjmuje nieskończenie, ale przeliczalnie wiele wartości, to we wzorze na jej wartość oczekiwaną występuje w miejsce (istnieje ona tylko wtedy, gdy szereg ten jest zbieżny bezwzględnie).

Oznaczenia

[edytuj | edytuj kod]

Wartość oczekiwaną najczęściej oznaczamy literą E w różnych stylizacjach: lub z różnym zapisem nawiasów: Innym popularnym oznaczeniem jest zaś w fizyce powszechnie używa się oznaczeń i [6].

Własności

[edytuj | edytuj kod]

Jeśli jest zmienną losową o funkcji gęstości prawdopodobieństwa to jej wartość oczekiwana wynosi

Jeżeli jest funkcją mierzalną, to

Jeśli istnieją oraz to:

  • gdzie jest funkcją stałą (wynika z jednorodności sumy/szeregu/całki),
  • (wynika z liniowości sumy/szeregu/całki),
  • jeżeli niezależne, to
  • jeżeli prawie wszędzie, to

W mechanice kwantowej

[edytuj | edytuj kod]

Pojęcie wartości oczekiwanej jest szeroko stosowane w mechanice kwantowej. Wartość oczekiwana obserwabli, której odpowiada operator dla stanu kwantowego układu opisywanego znormalizowaną funkcją falową wynosi

gdzie całkowanie przebiega po wszystkich możliwych wartościach zmiennych układu.

W notacji Diraca wzór ten ma postać

Nieoznaczoność wartości oczekiwanej czyli wariancja wynosi

Przypisy

[edytuj | edytuj kod]
  1. Thomas P. Ryan, Modern engineering statistics, Hoboken, NJ: Wiley-Interscience, 2007, ISBN 978-0-470-08187-7 [dostęp 2023-12-07].
  2. J. Jakubowski, R. Sztencel, Wstęp do teorii prawdopodobieństwa, Warszawa 2010, s. 82.
  3. J. Jakubowski, R. Sztencel, Wstęp do teorii prawdopodobieństwa, Warszawa 2010, s. 81.
  4. Wartość oczekiwana, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-07-22].
  5. J. Jakubowski, R. Sztencel, Wstęp do teorii prawdopodobieństwa, Warszawa 2010, s. 85.
  6. William Feller, Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa, Warszawa: PWN, 2007 (pol.).

Bibliografia

[edytuj | edytuj kod]
  • Jacek Jakubowski, Rafał Sztencel: Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. Warszawa: Script, 2004. ISBN 83-89716-01-1.