Problem NP

Następująca wersja przejrzana tej strony, którą oznaczono 22 sty 2015, była oparta na tej wersji.

Problem NP (niedeterministycznie wielomianowy, ang. nondeterministic polynomial) to problem decyzyjny, dla którego rozwiązanie można zweryfikować w czasie wielomianowym. Równoważna definicja mówi, że problem jest w klasie NP, jeśli może być rozwiązany w wielomianowym czasie na niedeterministycznej maszynie Turinga.

Różnica pomiędzy problemami P i NP polega na tym, że w przypadku P znalezienie rozwiązania ma mieć złożoność wielomianową, podczas gdy dla NP sprawdzenie podanego z zewnątrz rozwiązania ma mieć taką złożoność.

Przykładowo rozważmy problem:

Czy jakikolwiek niepusty podzbiór zadanego zbioru (np. {-2,6,-3,72,10,-11}) sumuje się do zera ?

Trudno znaleźć rozwiązanie tego zagadnienia w czasie wielomianowym. Nasuwający się algorytm sprawdzenia wszystkich możliwych podzbiorów ma złożoność wykładniczą ze względu na liczebność zbioru. Nie wiadomo zatem, czy problem ten jest klasy P. Na pewno natomiast uzyskawszy z zewnątrz kandydata na rozwiązanie (np. {-2,6,-3,10,-11}) możemy w liniowym (a zatem wielomianowym) czasie sprawdzić, czy sumuje się do zera. Jest to zatem problem NP.

W szczególności wszystkie problemy klasy P są NP, ponieważ można je sprawdzić w czasie wielomianowym. Innymi słowy, klasa P zawiera się nieostro w NP ( $P\subseteq NP$ ). Nie wiadomo natomiast, czy istnieje problem NP, który nie jest w klasie P (czyli, czy P rożni się od NP, lub inaczej $P\neq NP$ lub inaczej $P\subset NP$ ). Jest to jeden z problemów milenijnych. W 2000 roku Buss przewidywał, że P=!NP zostanie potwierdzone w ciągu 20 lat^[1]. W 2001^[2] roku 40 spośród 79 ekspertów było przekonanych, że problem ten zostanie rozwiązany do 2039 roku, a 57, że do roku 2070^[3]. Według New Scientist z 2010 roku istnieje 50% szans na rozwiązanie problemu P=NP przed 2024 rokiem, gdyż 9 spośród 18 badanych hipotez udowodniono zanim upłynęły 54 lata od ich postawienia^[4]. W 2012 roku analiza 144 hipotez matematycznych (w tym tych nieudowodnionych) uwzględniająca wzrost liczby matematyków oraz coraz lepszego przepływu wiedzy pomiędzy nimi wykazała, że szansa na rozwiązanie problemu P=NP przed 2024 rokiem to 41%^[5]. Także w tym roku akieta wśród 152 ekspertów wykazała, że 53% z nich uważa, że problem zostanie rozwiązany przed 2100 rokiem, a 41%, że po nim^[6].

Zobacz też

[1] ttps://arxiv.org/pdf/cs/0205003.pdf

[2] ttps://www.cs.umd.edu/~gasarch/papers/poll2012.pdf

[3] ttps://www.cs.umd.edu/~gasarch/papers/poll.pdf

[4] ttps://www.newscientist.com/article/mg20827923.700#.VMEnZEeG98E

[5] ttps://arxiv.org/ftp/arxiv/papers/1202/1202.3936.pdf

[6] ttps://www.cs.umd.edu/~gasarch/papers/poll2012.pdf

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]