Twierdzenie Stone’a o reprezentacji algebr Boole’a

Twierdzenie Stone'a o reprezentacji algebr Boole'a – jedno z podstawowych twierdzeń w teorii algebr Boole'a, dziedzinie matematyki z pogranicza teorii mnogości i topologii. Stanowi ono połączenie pomiędzy algebrami Boole'a a przestrzeniami topologicznymi.

Twierdzenie

W 1936 amerykański matematyk Marshall Harvey Stone udowodnił że

Każda algebra Boole'a jest izomorficzna z pewnym ciałem zbiorów (traktowanym jako algebra Boole'a). Co więcej, to ciało zbiorów jest ciałem otwarto-domkniętych podzbiorów pewnej zerowymiarowej zwartej przestrzeni Hausdorffa.

Dowód twierdzenia wymaga pewnej formy aksjomatu wyboru.

Uwagi o dowodzie

Niech $({\mathbb {B} },+,\cdot ,\sim ,{\mathbf {0} },{\mathbf {1} })$ będzie algebrą Boole'a.

Definicje

• Powiemy, że zbiór $F\subseteq {\mathbb {B} }\setminus \{{\mathbf {0} }\}$ jest filtrem na algebrze ${\mathbb {B} }$ gdy następujące warunki są spełnione:

(a) ${\mathbf {1} }\in F$,

(b) jeśli $a\in F$ oraz $a\leq b\in {\mathbb {B} }$ (czyli $a\cdot (\sim b)={\mathbf {0} }$), to też $b\in F$,

(c) jeśli $a,b\in F$, to również $a\cdot b\in F$.

• Filtr $F$ na algebrze ${\mathbb {B} }$ jest filtrem maksymalnym jeśli jedynym filtrem zawierającym $F$ jest filtr $F$. (Czyli filtr maksymalny to taki filtr który nie może być rozszerzony do większego filtru.) Filtry maksymalne na algebrze ${\mathbb {B} }$ są też nazywane ultrafiltrami. Zbiór wszystkich ultrafiltrów na algebrze ${\mathbb {B} }$ jest oznaczany przez ${\rm {Ult}}({\mathbb {B} })$.
• Dla $a\in {\mathbb {B} }$ definiujemy $e(a)=\{p\in {\rm {Ult}}({\mathbb {B} }):a\in p\}\subseteq {\rm {Ult}}({\mathbb {B} })$.

Obserwacje

• Niech $F\subseteq {\mathbb {B} }\setminus \{{\mathbf {0} }\}$ będzie filtrem. Wówczas następujące warunki są równoważne:

(i) $F$ jest ultrafiltrem,

(ii) dla każdego elementu $a\in {\mathbb {B} }$, albo $a\in F$ lub $\sim a\in F$,

(iii) dla każdych $a,b\in {\mathbb {B} }$, jeśli $a+b\in F$, to $a\in F$ lub $b\in F$.

• Każdy filtr $F\subseteq {\mathbb {B} }\setminus \{{\mathbf {0} }\}$ jest zawarty w pewnym ultrafiltrze. (To stwierdzenie wymaga pewnej formy aksjomatu wyboru.)
• Dla dowolnych $a,b\in {\mathbb {B} }$ mamy, że

$e(a+b)=e(a)\cup e(b)$, $e(a\cdot b)=e(a)\cap e(b)$ oraz $e(\sim a)={\rm {Ult}}({\mathbb {B} })\setminus e(a)$.

• Rodzina $\{e(a):a\in {\mathbb {B} }\}$ jest bazą pewnej topologii $\tau _{\rm {St}}$ na ${\rm {Ult}}({\mathbb {B} })$. Przestrzeń topologiczna $({\rm {Ult}}({\mathbb {B} }),\tau _{\rm {St}})$ jest zerowymiarową zwartą przestrzenią T₂. (Tę przestrzeń nazywamy przestrzenią Stone'a algebry ${\mathbb {B} }$.)
• Odwzorowanie $e$ jest izomorfizmem pomiędzy algebrą ${\mathbb {B} }$ a ciałem otwarto-domkniętych podzbiorów jej przestrzeni Stone'a.

Zobacz też

• Przegląd zagadnień z zakresu matematyki,
• algebra Boole'a.