Teoria perturbacji

Ten artykuł opisuje teorię perturbacji jako ogólną matematyczną teorię. Aby zapoznać się z teorią perturbacji stosowaną w mechanice kwantowej zobacz Teoria perturbacji (mechanika kwantowa) .

Teoria perturbacji (nazywana też rachunkiem zaburzeń) jest zbiorem metod matematycznych, które są używane do znalezienia przybliżonego rozwiązania problemu, który nie może być rozwiązany w sposób ścisły, dostarczając bezpośrednie rozwiązanie problemu. Teoria perturbacji może być zastosowana do rozwiązania problemu, gdy można go przedstawić jako część dającą bezpośrednie rozwiązanie i stosunkowo mały człon zaburzający.

Teoria perturbacji dąży do przedstawienia rozwiązania danego problemu za pomocą szeregu potęgowego z niewielkim parametrem określającym odchylenie (zaburzenie) od dokładnie rozwiązywalnego problemu. Odchylenie to oznaczane jest często przez $\epsilon$. Pierwszy człon tego szeregu jest rozwiązaniem rozwiązywalnego (niezaburzonego) problemu, podczas gdy dalsze człony szeregu opisują odchylenie od ściśle rozwiązywalnego problemu. Formalnie, dla opisania aproksymacji rozwiązania pełnego problemu $A$ używany formuły:

$A=A_{0}+\epsilon A_{1}+\epsilon ^{2}A_{2}+\cdots$

w tym wyrażeniu, $A_{0}$ jest dokładnym rozwiązaniem problemu niezaburzonego (pozbawionego odchylenia, a jednocześnie dokładnie rozwiązywalnego), natomiast $A_{1},A_{2},\ldots$ reprezentują kolejne człony opisujące zaburzenie. Dla małych wartości $\epsilon$ czynniki coraz wyższych rzędów stają się zaniedbywane.