Proces gaussowski: Różnice pomiędzy wersjami
Wygląd
[wersja przejrzana] | [wersja przejrzana] |
Usunięta treść Dodana treść
m Bot: Przenoszę linki interwiki (8) do Wikidata, są teraz dostępne do edycji na d:q1496376 |
Funkcja sugerowania linków: dodane 3 linki. |
||
(Nie pokazano 3 wersji utworzonych przez 2 użytkowników) | |||
Linia 1: | Linia 1: | ||
'''Proces gaussowski''' |
'''Proces gaussowski''' – [[proces stochastyczny]] <math>\left\{X_t\right\}_{t \in T},</math> którego rozkłady skończenie wymiarowe są [[Wielowymiarowy rozkład normalny|gaussowskie]]. Najbardziej znanymi przykładami procesów gaussowskich są [[proces Wienera]] i [[most Browna]]. |
||
== Definicja == |
== Definicja == |
||
Poniższe definicje procesu gaussowskiego są wymienne. Ich równoważność wynika wprost z własności [[Wielowymiarowy rozkład normalny|rozkładu normalnego]]. Mówimy, że proces <math>\left\{ |
Poniższe definicje procesu gaussowskiego są wymienne. Ich równoważność wynika wprost z własności [[Wielowymiarowy rozkład normalny|rozkładu normalnego]]. Mówimy, że proces <math>\left\{X_t\right\}_{t \in T}</math> jest procesem gaussowskim, gdy |
||
* Definicja 1 |
* Definicja 1 – dla każdego skończonego zbioru indeksów <math>t_1, t_2, \dots, t_n \in T</math> zmienna losowa |
||
<math>(X_{t_1}, X_{t_2}, \ |
: <math>(X_{t_1}, X_{t_2}, \dots, X_{t_n})</math> ma [[Wielowymiarowy rozkład normalny|rozkład normalny]]. |
||
* Definicja 2 |
* Definicja 2 – każda liniowa kombinacja <math>Y=\sum_{i=1}^n a_i X_{t_i}</math> <math>(a_i \in \mathbb{R}, t_i \in T)</math> jest [[Zmienna losowa|zmienną losową]] o [[Rozkład normalny|rozkładzie normalnym]]. |
||
* Definicja 3 |
* Definicja 3 – [[funkcja charakterystyczna]] [[Kombinacja liniowa|kombinacji liniowych]] ma postać |
||
<math> |
: <math>\operatorname{E}\left(\exp\left(i \ \sum_{\ell=1}^k t_\ell \ \mathbf{X}_{t_\ell}\right)\right) = \exp \left(-\frac{1}{2} \, \sum_{\ell, j} \sigma_{\ell j} t_\ell t_j + i \sum_\ell \mu_\ell t_\ell\right).</math> |
||
Proces gaussowski nazywamy ''scentrowanym'', gdy <math>\forall_{t\in T} \operatorname{E} X_t = 0 |
Proces gaussowski nazywamy ''scentrowanym'', gdy <math>\forall_{t\in T} \operatorname{E} X_t = 0</math> |
||
== Własności == |
== Własności == |
||
Dla procesu gaussowskiego definiujemy ''funkcję wartości średniej'' <math>f(t) = \operatorname{E} X_t</math> i ''funkcję kowariancji'' <math> |
Dla procesu gaussowskiego definiujemy ''funkcję wartości średniej'' <math>f(t) = \operatorname{E} X_t</math> i ''funkcję kowariancji'' <math>c(t_1, t_2) = \mathrm{Cov}(X_{t_1}, X_{t_2}).</math> Funkcja [[Kowariancja|kowariancji]] jest [[Funkcja dodatnio określona|dodatnio określona]]. |
||
Na odwrót para funkcji <math>f |
Na odwrót para funkcji <math>f\colon T\to \mathbb{R}\, \, c\colon T\times T\to \mathbb{R},</math> gdzie <math>c</math> jest dodatnio określona definiuje proces gaussowski. Jest on jedyny z dokładnością do rozkładów skończenie wymiarowych. |
||
== Zobacz też == |
== Zobacz też == |
||
* [[ |
* [[proces stochastyczny]] |
||
{{Kontrola autorytatywna}} |
|||
[[Kategoria:Procesy stochastyczne]] |
[[Kategoria:Procesy stochastyczne]] |
Aktualna wersja na dzień 18:05, 1 paź 2021
Proces gaussowski – proces stochastyczny którego rozkłady skończenie wymiarowe są gaussowskie. Najbardziej znanymi przykładami procesów gaussowskich są proces Wienera i most Browna.
Definicja
[edytuj | edytuj kod]Poniższe definicje procesu gaussowskiego są wymienne. Ich równoważność wynika wprost z własności rozkładu normalnego. Mówimy, że proces jest procesem gaussowskim, gdy
- Definicja 1 – dla każdego skończonego zbioru indeksów zmienna losowa
- ma rozkład normalny.
- Definicja 2 – każda liniowa kombinacja jest zmienną losową o rozkładzie normalnym.
- Definicja 3 – funkcja charakterystyczna kombinacji liniowych ma postać
Proces gaussowski nazywamy scentrowanym, gdy
Własności
[edytuj | edytuj kod]Dla procesu gaussowskiego definiujemy funkcję wartości średniej i funkcję kowariancji Funkcja kowariancji jest dodatnio określona. Na odwrót para funkcji gdzie jest dodatnio określona definiuje proces gaussowski. Jest on jedyny z dokładnością do rozkładów skończenie wymiarowych.