Tekst źródłowy strony Układ równań liniowych

{{dopracować|źródła=2016-10}}
{{spis treści}}
'''Układ równań liniowych''' – [[Koniunkcja (logika)|koniunkcja]] pewnej liczby (być może [[Zbiór skończony|nieskończonej]]<ref>{{cytuj pismo |autor = F.P. Sayer |tytuł = Some Aspects of Infinite Systems of Linear Simultaneous Equations |url = https://archive.ph/20120715183520/http://imajna.oxfordjournals.org/cgi/content/short/3/3/333 |czasopismo = IMA Journal of Numerical Analysis |oznaczenie = 1983 3(3):333-340 |doi = 10.1093/imanum/3.3.333 |data dostępu = 2009-01-06}}</ref>) [[równanie liniowe|równań liniowych]], czyli [[Równanie|równań]] pierwszego rzędu.

Teoria układów równań liniowych jest działem [[algebra liniowa|algebry liniowej]] leżącej u podstaw nowoczesnej matematyki. [[Algorytm]]ami obliczeniowymi zajmuje się dział nazywany [[numeryczna algebra liniowa]], same zaś metody odgrywają ważną rolę w [[inżynieria|inżynierii]], [[fizyka|fizyce]], [[chemia|chemii]], [[informatyka|informatyce]] i [[ekonomia|ekonomii]]. Częstokroć [[aproksymacja|aproksymuje]] (przybliża) się bardziej skomplikowane [[układ równań nieliniowych|układy równań nieliniowych]] (opisujące modele matematyczne czy symulacje komputerowe) dużo prostszymi układami równań liniowych (tzw. ''[[linearyzacja]]'').

Układy równań liniowych rozpatruje się najczęściej nad [[ciało (matematyka)|ciałami]] (np. [[liczby wymierne|liczbami wymiernymi]], [[liczby rzeczywiste|rzeczywistymi]] czy [[liczby zespolone|zespolonymi]]); choć ma to sens już w przypadku [[pierścień (matematyka)|pierścieni]] (np. [[liczby całkowite|liczb całkowitych]]), to rozwiązywanie takich układów nastręcza znacznie więcej trudności (w szczególności oznacza to badanie [[moduł (matematyka)|modułów]] zamiast [[przestrzeń liniowa|przestrzeni liniowych]], zob. ''[[#Uogólnienia|uogólnienia]]''). W dalszej części przyjmuje się, że wszystkie współczynniki należą do ustalonego ciała.

== Motywacje ==
W [[geometria euklidesowa|geometrii euklidesowej]] można rozpatrywać [[miejsce geometryczne|miejsca geometryczne]] wyznaczone przez dane dwie [[prosta|proste]] na [[płaszczyzna|płaszczyźnie]] – mogą one wyznaczać prostą, [[punkt (geometria)|punkt]] lub nie wyznaczać żadnego miejsca geometrycznego; odpowiada im odpowiednio [[Zbiór skończony|nieskończony]] [[zbiór]] elementów, zbiór złożony z pojedynczego elementu lub [[zbiór pusty]]. Wprowadzenie na płaszczyźnie [[układ współrzędnych|układu współrzędnych]] umożliwia algebraizację tego zadania: proste zadane są za pomocą [[równanie liniowe|równań liniowych]], zaś miejsce geometryczne wyznaczone przez te proste odpowiada zbiorowi elementów spełniających wszystkie równania jednocześnie (pełną interpretację geometryczną można znaleźć w sekcji ''[[#Uogólnienia|Uogólnienia]]'').

[[Plik:Intersecting Lines.svg|thumb|Rozwiązaniem układu równań <math>x - y = -1</math> oraz <math>3x + y = 9</math> jest [[para uporządkowana]] <math>(2,\ 3),</math> gdyż podstawienie do równań poprzednika tej pary za <math>x</math> i jej następnika za <math>y</math> da dwie tożsamości]]
Jeśli w [[układ współrzędnych kartezjańskich|układzie współrzędnych kartezjańskich]] proste <math>l_1,\ l_2</math> zadane są równaniami
: <math>l_1\colon\ x - y = -1</math>

oraz
: <math>l_2\colon\ 3x + y = 9,</math>

to ich jedyny punkt wspólny <math>(x_0,\ y_0)</math> ma współrzędne <math>(2,\ 3),</math> co łatwo sprawdzić wprost:
: <math>2 - 3 = -1,</math>
: <math>3 \cdot 2 + 3 = 9.</math>

To, że jest to jedyny punkt, wynika z faktu, iż proste te nie są [[równoległość|równoległe]] (argument formalny podano dalej). Zwyczajowo równania prostych <math>l_1, l_2</math> zapisuje się bezpośrednio jedno pod drugim i spina klamrą:
: <math>\begin{cases} x - y = -1, \\ 3x + y = 9. \end{cases}</math>

nazywając je ''układem równań liniowych'', zaś zbiór elementów spełniających każde równanie z osobna (odpowiadający punktom wspólnym prostych) – jego ''rozwiązaniami''.

== Postać i zapis ==
{{Zobacz też|układ równań|równanie liniowe|wektor|macierz}}

Niech <math>\mathrm U</math> oznacza układ <math>m</math> równań liniowych o <math>n</math> niewiadomych, tzn. <ref>{{Encyklopedia PWN | tytuł = Układ równań liniowych | id = 3990972 | data dostępu = 2021-07-22}}</ref>
: <math>\mathrm U\colon \begin{cases}\begin{matrix}
  a_{11} x_1 & + & a_{12} x_2 & + & \dots & + & a_{1n} x_n & = b_1, \\
  a_{21} x_1 & + & a_{22} x_2 & + & \dots & + & a_{2n} x_n & = b_2, \\
    \vdots & & \vdots & & \ddots & & \vdots & \vdots \\
  a_{m1} x_1 & + & a_{m2} x_2 & + & \dots & + & a_{mn} x_n & = b_m.
\end{matrix}\end{cases}.</math>

Niech <math>1 \leqslant i \leqslant m</math> oraz <math>1 \leqslant j \leqslant n.</math> Wielkości <math>x_j</math> nazywa się '''niewiadomymi''' (lub ''zmiennymi''), liczby <math>a_{ij}</math> nazywa się '''współczynnikami''', zaś elementy <math>b_i</math> to '''wyrazy wolne'''. Układ nazywa się '''jednorodnym''', jeżeli wyrazy wolne są równe zeru; inaczej mówiąc, wszystkie równania jednorodnego układu równań liniowych są jednorodne.

Układ <math>\mathrm U</math> można zapisać jako równanie wektorowe
: <math>[x_1 a_{11} + \ldots + x_n a_{1n},\ \dots,\ x_1 a_{m1} + \ldots + x_n a_{mn}] = [b_1, \dots, b_m],</math>

które można przedstawić w postaci
: <math>x_1[a_{11}, \dots, a_{m1}] + \ldots + x_n[a_{1n}, \dots, a_{mn}] = [b_1, \dots, b_m],</math>

dzięki czemu każda niewiadoma może być postrzegana jako współczynnik [[kombinacja liniowa|kombinacji liniowej]] wektorów <math>\mathbf a_j = [a_{1j}, \dots, a_{mj}],</math> tzn.
: <math>x_1 \mathbf a_1 + x_2 \mathbf a_2 + \ldots + x_n \mathbf a_n = \mathbf b,</math>

gdzie <math>\mathbf b = [b_1, b_2, \dots, b_m]</math> nazywa się w tym kontekście '''wektorem wyrazów wolnych''', zaś <math>\mathbf x = [x_1, x_2, \dots, x_n]</math> to '''wektor zmiennych''' (zob. ''[[#Uogólnienia|uogólnienia]]'').

Korzystając z notacji macierzowej, układ <math>\mathrm U</math> można przedstawić w postaci
: <math>\begin{bmatrix}
  a_{11} x_1 & + & a_{12} x_2 & + & \dots & + & a_{1n} x_n \\
  a_{21} x_1 & + & a_{22} x_2 & + & \dots & + & a_{2n} x_n \\
    \vdots & & \vdots & & \ddots & & \vdots \\
  a_{m1} x_1 & + & a_{m2} x_2 & + & \dots & + & a_{mn} x_n
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_m \end{bmatrix},</math>

co, przy pomocy standardowego [[mnożenie macierzy|mnożenia macierzy]], można zapisać w formie
: <math>\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_m \end{bmatrix}.</math>

[[Plik:Secretsharing-3-point.png|thumb|Układ równań liniowych o trzech zmiennych określa zbiór [[płaszczyzna|płaszczyzn]] – dowolny ich punkt przecięcia (o ile istnieje) jest rozwiązaniem układu]]

Innymi słowy dowolny układ <math>\mathrm U</math> można traktować jak macierzowe [[równanie liniowe]]
: <math>\mathbf{AX} = \mathbf B,</math>

gdzie <math>\mathbf A = [a_{ij}]</math> jest macierzą typu <math>m \times n,</math> zaś <math>\mathbf X = [x_j]</math> oraz <math>\mathbf B = [b_i]</math> to macierze odpowiednio typów <math>n \times 1</math> oraz <math>m \times 1.</math> Macierz <math>\mathbf A</math> nazywa się '''macierzą główną''' układu <math>\mathrm U.</math> Jeśli macierz układu jest kwadratowa, tzn. <math>n = m,</math> to sam układ również nazywa się czasem ''kwadratowym'', jeśli jest ona prostokątna, czyli <math>n \ne m,</math> to układ także nazywa się niekiedy ''prostokątnym''.

Ponieważ macierz <math>\mathbf X</math> w powyższym równaniu macierzowym zachowuje się przy operacjach elementarnych na wierszach (każde równanie jest [[kombinacja liniowa|kombinacją liniową]] elementów <math>x_j</math>), to wygodne jest pominięcie go w zapisie i rozpatrywanie '''macierzy rozszerzonej''' bądź '''uzupełnionej''' układu <math>\mathrm U,</math> złożonej z elementów macierzy <math>\mathbf A</math> oraz <math>\mathbf B,</math> w której wyrazy <math>a_{ij}</math> oddziela się zwykle optycznie od wyrazów <math>b_i</math> pionową kreską:
: <math>\left[\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} \end{matrix}\right|\left.\begin{matrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_m \end{matrix}\right].</math>

Macierz <math>\mathbf A</math> może być traktowana jako przypadek szczególny macierzy rozszerzonej, w której wyrazy <math>b_i</math> są równe zeru.

Dowolny układ <math>\mathrm U</math> można zapisać w postaci
: <math>\mathrm U'\colon \begin{cases}\begin{matrix}
  a_{11} x_1 & + & a_{12} x_2 & + & \dots & + & a_{1n} x_n & - & b_1 & = 0, \\
  a_{21} x_1 & + & a_{22} x_2 & + & \dots & + & a_{2n} x_n & - & b_2 & = 0, \\
    \vdots & & \vdots & & \ddots & & \vdots & & \vdots & \vdots \\
  a_{m1} x_1 & + & a_{m2} x_2 & + & \dots & + & a_{mn} x_n & - & b_m & = 0;
\end{matrix}\end{cases},</math>

co w zapisie macierzowym można ująć następująco:
: <math>\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} & b_1 \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} & b_2 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} & b_m \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n \\ -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ \vdots \\ \vdots \\ 0 \end{bmatrix}.</math>

W ten sposób układ <math>\mathrm U</math> w postaci <math>\mathrm U'</math> można zapisać jako
: <math>\mathbf A' \mathbf X' = \mathbf \Theta,</math>

gdzie <math>\mathbf A'</math> jest macierzą typu <math>m \times (n + 1),</math> zaś <math>\mathbf X'</math> jest macierzą typu <math>(n + 1) \times 1,</math> a <math>\mathbf \Theta</math> jest [[macierz zerowa|macierzą zerową]] typu <math>m \times 1.</math> Macierz główna <math>\mathbf A'</math> układu <math>\mathrm U'</math> jest więc formalnie macierzą rozszerzoną układu <math>\mathrm U.</math> Oznacza to, że układ niejednorodny <math>n</math> zmiennych można sprowadzić do układu jednorodnego <math>n + 1</math> zmiennych, przy czym jedna z nich jest ustalona (zob. ''[[#Uogólnienia|uogólnienia]]'').

== Rozwiązania ==
[[Plik:Parallel Lines.svg|thumb|Równania <math>3x + 2y = 6</math> oraz <math>3x + 2y = 12</math> tworzą układ sprzeczny]]

'''Rozwiązaniem''' <math>\mathrm U</math> nazywa się dowolny ciąg liczb <math>r_i,</math> który po podstawieniu za <math>x_j</math> będzie spełniał każde z równań <math>\mathrm U.</math> Układ, który nie ma rozwiązań, nazywa się '''sprzecznym'''; jeżeli zbiór rozwiązań układu jest niepusty, to nazywa się go '''niesprzecznym'''. Układ niesprzeczny, który ma jedno i tylko jedno rozwiązanie, nazywa się '''oznaczonym'''; układy o więcej niż jednym rozwiązaniu nazywa się '''nieoznaczonymi''' – w przypadku układów liniowych nad [[ciało (matematyka)|ciałami nieskończonymi]] (takimi jak [[liczby wymierne]], [[liczby rzeczywiste]] czy [[liczby zespolone]]) oznacza to, że układ ma nieskończenie wiele rozwiązań.

Wskazówkę co do ogólnej liczby rozwiązań układu daje już sama jego postać:
* [[układ niedookreślony]], który ma mniej równań niż niewiadomych, <math>m < n,</math> zwykle jest nieoznaczony;
* [[układ nadokreślony]] mający więcej równań niż niewiadomych, <math>m > n,</math> zazwyczaj jest sprzeczny;
* układ, który ma tyle równań co niewiadomych, <math>m = n,</math> często ma jedno rozwiązanie.

Przypadki te obrazują następujące wykresy dla układów równań liniowych dwóch zmiennych:
: {| border=0 cellpadding=5
|-
|width="150px" align="center"| [[Plik:One Line.svg|120px]]
|width="150px" align="center"| [[Plik:Two Lines.svg|120px]]
|width="150px" align="center"| [[Plik:Three Lines.svg|120px]]
|-
|align="center"| Jedno równanie
|align="center"| Dwa równania
|align="center"| Trzy równania
|}

=== Operacje elementarne ===
{{osobny artykuł|operacje elementarne}}

Podstawową metodą rozwiązywania układów równań jest przekształcanie danego układu w inny, który ma ten sam zbiór rozwiązań – układy takie nazywa się '''równoważnymi'''. Można wyróżnić trzy '''operacje elementarne na wierszach''' przekształcające dany układ w układ do niego równoważny:
* dodanie do równania innego równania pomnożonego przez liczbę,
* zamiana dwóch równań miejscami,
* pomnożenie równania przez liczbę różną od zera.

Powszechnie stosowanymi metodami rozwiązywania układów równań liniowych za pomocą wspomnianych operacji elementarnych są:
* ''[[metoda eliminacji Gaussa]]'', w której układ przekształca się do równoważnego z nim układu równań z rosnącą liczbą zmiennych;
* ''[[metoda eliminacji Gaussa-Jordana]]'', w której układ przekształca się dalej (poprzez kolejne podstawienia równań z mniejszą liczbą zmiennych do tych z większą) do równoważnego z nim układu równań liniowych wiążących bezpośrednio każdą zmienną z pewną wartością.

Oba algorytmy opisano w przypadku, gdy układ jest oznaczony. Jeśli układ jest sprzeczny, to uzyskuje się (co najmniej jedno) równanie sprzeczne, które mówi o sprzeczności całego układu. Jeśli układ jest nieoznaczony, to niektóre zmienne przenosi się do prawych części równań i rozwiązanie podaje się w postaci wyrażania jednych zmiennych przez inne (zob. też następną podsekcję). Metody te w zapisie macierzowym odpowiadają (zwykle) najefektywniejszym metodom przekształcania macierzy głównej (w przypadku jednorodnym) lub rozszerzonej (w przypadku niejednorodnym) układu do wierszowo z nią równoważnej [[macierz schodkowa|macierzy schodkowej]] w metodzie Gaussa i [[macierz schodkowa|macierzy schodkowej zredukowanej]] w metodzie Gaussa-Jordana.

=== Opis ogólny i zależność ===
{{Zobacz też|zmienne zależna i niezależna|liniowa niezależność|twierdzenie o rzędzie}}
[[Plik:Three Intersecting Lines.svg|thumb|Równania <math>x - 2y = -1,</math> <math>3x + 5y = 8</math> oraz <math>4x + 3y = 7</math> nie są liniowo niezależne]]
Jeżeli układ ma więcej niż jedno rozwiązanie, to można je scharakteryzować, podając tzw. ''rozwiązanie ogólne'' układu, będące w istocie układem równań w prostej postaci – w przypadku, jeśli układ ma jedno rozwiązanie, to rozwiązanie można odczytać wprost z rozwiązania ogólnego. Układ
: <math>\mathrm R\colon \begin{cases}\begin{matrix}
     x_{j_1} = & c_{11} x_1 & + & c_{12} x_2 & + & \dots & + & c_{1n} x_n & + & d_1, \\
     x_{j_2} = & c_{21} x_1 & + & c_{22} x_2 & + & \dots & + & c_{2n} x_n & + & d_2, \\
 \;\vdots\;\;= & \vdots & & \vdots & & \ddots & & \vdots & & \vdots \\
     x_{j_k} = & c_{k1} x_1 & + & c_{k2} x_2 & + & \dots & + & c_{kn} x_n & + & d_k;
\end{matrix}\end{cases},</math>

gdzie <math>j_1 < \dots < j_k,</math> a zmienne <math>x_{j_1}, \dots, x_{j_k}</math> nie występują po prawej stronie równań (tzn. <math>c_{ij} = 0</math> dla <math>j = j_1, \dots, j_k</math>) zadaje '''rozwiązanie ogólne''' układu <math>\mathrm U</math> (krótko: <math>\mathrm R</math> jest rozwiązaniem ogólnym układu <math>\mathrm U</math>). Zmienne <math>x_{j_1}, \dots, x_{j_k}</math> nazywa się wtedy '''zależnymi''', a pozostałe <math>x_j</math> nazywa się wówczas zmiennymi '''niezależnymi''' (albo ''parametrami'').

Równania w układzie liniowym nazywa się '''niezależnymi''', jeśli żadne z nich nie może być uzyskane z innych za pomocą operacji elementarnych. Innymi słowy każde z nich zawiera nową informację o zmiennych i usunięcie któregokolwiek z nich powiększa liczbę rozwiązań; w przypadku równań liniowych niezależność ta nazywana jest ''niezależnością liniową'' (zob. ''[[#Charakteryzacja|charakteryzacja]]'').

=== Wzory Cramera ===
{{Zobacz też|wzory Cramera}}
Jeśli macierz główna układu jest kwadratowa (układ jest kwadratowy), to oznaczoność układu jest równoważna [[macierz odwrotna|odwracalności]] jego macierzy głównej. Macierz jest odwracalna wtedy i tylko wtedy, gdy jest nieosobliwa, tzn. ma niezerowy [[wyznacznik]]. Wówczas, mnożąc z lewej strony (w ogólności [[mnożenie macierzy]] nie jest [[przemienność|przemienne]]) równanie
: <math>\mathbf{AX} = \mathbf B</math>

przez macierz <math>\mathbf A^{-1},</math> czyli <math>\mathbf A^{-1} \mathbf{AX} = \mathbf A^{-1} \mathbf B,</math> otrzymuje się rozwiązanie
: <math>\mathbf X = \mathbf A^{-1} \mathbf B.</math>

Macierz odwrotną do <math>\mathbf A</math> można wyznaczyć w dowolny sposób, np. korzystając z operacji elementarnych bądź obliczając iloraz [[macierz dołączona|macierzy dołączonej]] <math>\mathbf A^\mathrm D</math> przez [[wyznacznik]] macierzy <math>\mathbf A.</math> Pierwsza metoda odpowiada w istocie metodzie eliminacji Gaussa-Jordana, druga z kolei jest wnioskiem z [[wzory Cramera|twierdzenia Cramera]]:
: <math>\mathbf X = \frac{\mathbf A^\mathrm D \mathbf B}{\det \mathbf A};</math>

wtedy też, na mocy [[Rozwinięcie Laplace’a|rozwinięcia Laplace’a]], wzory na elementy <math>x_j</math> powyższej macierzy, nazywane właśnie ''wzorami Cramera'', dane są jako ilorazy wyznaczników macierzy <math>\mathbf A^{(j)}_\mathbf B</math> przez wyznacznik macierzy głównej <math>\mathbf A</math> układu <math>\mathbf{AX} = \mathbf B,</math>
: <math>x_j = \frac{\det \mathbf A^{(j)}_\mathbf B}{\det \mathbf A},</math>

gdzie <math>\mathbf A^{(j)}_\mathbf B</math> oznacza macierz powstałą z <math>\mathbf A</math> poprzez zamianę elementów <math>j</math>-tej kolumny elementami macierzy wyrazów wolnych <math>\mathbf B,</math> o ile tylko <math>\det \mathbf A</math> nie jest równy zeru.

Jak już wspomniano, układ jest oznaczony, gdy macierz główna jest odwracalna. Jeżeli wyznacznik macierzy głównej jest zerowy, to układ jest sprzeczny, gdy którykolwiek z wyznaczników <math>\det \mathbf A^{(j)}_\mathbf B</math> jest niezerowy. [[Twierdzenie odwrotne]] nie jest prawdziwe: jeśli wszystkie wyznaczniki są zerowe, to układ nie musi być nieoznaczony (wiadomo jedynie, że nie jest oznaczony, czyli może być tak sprzeczny, jak i nieoznaczony).

Stosowanie wzorów Cramera do rozwiązywania „konkretnych” układów wymaga z reguły więcej obliczeń niż stosowanie metody Gaussa, jednak metoda Cramera bywa dogodniejsza w rozważaniach teoretycznych.

=== Inne metody ===
Układy trzech czy nawet czterech zmiennych łatwo rozwiązać ręcznie (najlepiej metodą Gaussa); do większych stosuje się często komputery. Standardowe podejście opiera się na metodzie eliminacji Gaussa. Bardzo ważne jest unikanie dzielenia przez małe liczby, które może prowadzić do błędów zaokrągleń – można to osiągnąć poprzez zmianę kolejności równań (druga operacja elementarna). Ponadto w szczególnym przypadku, gdy dane układy mają tę samą macierz główną, lecz różne macierze rozszerzone (tzn. układy mają te same współczynniki, lecz różne wyrazy wolne), to pomocne okazuje się wyznaczenie [[metoda LU|rozkładu LU]] macierzy głównej.

Często możliwe jest wykorzystanie szczególnej postaci macierzy głównej układu do uzyskania szybszych bądź dokładniejszych algorytmów. Przykładowo układy z [[macierz symetryczna|symetrycznymi]] i [[Określoność formy|dodatnio określonymi]] macierzami głównymi mogą być rozwiązane dużo szybciej za pomocą [[rozkład Choleskiego|rozkładu Cholesky’ego]]. [[Rekursja Levinsona]] jest z kolei szybką metodą rozwiązywania układów opisanych [[macierz Toeplitza|macierzą Toeplitza]]. Istnieją także specjalne metody dla macierzy z wieloma zerami (tzw. [[macierz rzadka|macierzy rzadkich]]), które pojawiają się często w zastosowaniach matematyki.

W zupełnie inny sposób podchodzi się do bardzo dużych układów, których rozwiązanie kosztowałoby zbyt dużo czasu lub pamięci. Idea polega na rozpoczęciu od wstępnego przybliżenia rozwiązania (które wcale nie musi być dokładne) i stopniowym jego poprawianiu. Jeśli jest ono wystarczająco dokładne, to właśnie ono przyjmowane jest jako rozwiązanie układu. Tego rodzaju podejście prowadzi do [[Algorytm iteracyjny|metod iteracyjnych]].

=== Charakteryzacja ===
{{osobny artykuł|rząd (algebra liniowa)|o1=rząd|twierdzenie Kroneckera-Capellego}}
[[Plik:IntersectingPlanes.png|thumb|Zbiór rozwiązań dwóch równań liniowych o trzech zmiennych zwykle tworzy prostą (przestrzeń jednowymiarową)]]
O niesprzeczności i liczbie rozwiązań układu <math>m</math> równań liniowych o <math>n</math> niewiadomych mówi [[twierdzenie Kroneckera-Capellego]]: ma on rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy rząd <math>r</math> macierzy głównej tego układu jest równy rzędowi <math>s</math> jego macierzy rozszerzonej. Układ jednorodny zawsze ma rozwiązanie trywialne, tzn. postaci <math>(0, \dots, 0);</math> jest to jedyne rozwiązanie oznaczonego układu jednorodnego. Układ niesprzeczny jest
* oznaczony, tzn. ma jedno rozwiązanie, gdy rząd macierz głównej układu jest równy liczbie niewiadomych;
* nieoznaczony, tzn. nieskończenie wiele rozwiązań, gdy rząd macierzy głównej układu jest mniejszy od liczby niewiadomych – zbiór rozwiązań zależy wtedy od <math>n - r</math> parametrów.

Z punktu widzenia [[Geometria analityczna|geometrii analitycznej]] rozwiązania układu tworzą [[przestrzeń liniowa|przestrzeń liniową]] (w przypadku jednorodnym) albo [[przestrzeń afiniczna|przestrzeń afiniczną]] (w przypadku niejednorodnym) wymiaru <math>n - r.</math> W szczególności więc, jeśli <math>n = r,</math> to rozwiązaniem jest punkt.

Niech <math>S_\mathbf 0</math> oznacza zbiór rozwiązań układu jednorodnego <math>\mathrm A(\mathbf x) = \mathbf 0.</math> Ponieważ układ jest jednorodny, to <math>S_\mathbf 0</math> nie jest pusty. Niech <math>\mathbf x_1, \mathbf x_2</math> należą do <math>S_\mathbf 0,</math> tzn. <math>\mathrm A(\mathbf x_1) = \mathbf 0</math> oraz <math>\mathrm A(\mathbf x_2) = \mathbf 0,</math> skąd <math>\mathrm A(p\mathbf x_1 + q\mathbf x_2) = \mathbf 0,</math> czyli <math>p\mathbf x_1 + q\mathbf x_2</math> również należy do <math>S_\mathbf 0,</math> a więc <math>S_\mathbf 0</math> jest [[podprzestrzeń liniowa|podprzestrzenią liniową]] [[przestrzeń współrzędnych|przestrzeni współrzędnych]]. Ponieważ przekształcenie macierzy układu do postaci schodkowej zredukowanej nie zmienia zbioru rozwiązań <math>S_\mathbf 0</math> układu, to pierwsze <math>k</math> wierszy jest [[kombinacja liniowa|kombinacją liniową]] ostatnich <math>n - r</math> [[liniowa niezależność|liniowo niezależnych]] wierszy; w ten sposób również <math>n - r</math> kolumn tej macierzy tworzy bazę przestrzeni <math>S_\mathbf 0</math> (w gruncie rzeczy wykorzystuje się tu pojęcie [[Rząd macierzy|rzędu]]; w ogólności powyższe obserwacje są równoważne [[twierdzenie o rzędzie|twierdzeniu o rzędzie]] przekształcenia liniowego).

Teraz niech <math>S_\mathbf b</math> będzie zbiorem rozwiązań układu niejednorodnego <math>\mathrm A(\mathbf x) = \mathbf b;</math> ponieważ <math>r = s,</math> to zbiór ten nie jest pusty. Niech <math>\mathbf x_1</math> będzie ustalonym rozwiązaniem, a <math>\mathbf x_2</math> dowolnym rozwiązaniem układu; wówczas z <math>\mathrm A(\mathbf x_1) = \mathbf b</math> oraz <math>\mathrm A(\mathbf x_2) = \mathbf b,</math> wynika <math>\mathrm A(\mathbf x_1 - \mathbf x_2) = \mathrm A(\mathbf x_1) - \mathrm A(\mathbf x_2) = \mathbf 0,</math> czyli <math>\mathbf x_1 - \mathbf x_2</math> należy do zbioru <math>S_\mathbf 0</math> rozwiązań odpowiadającego mu układu jednorodnego. Wraz z nim do <math>S_\mathbf 0</math> należy również rozwiązanie przeciwne <math>\bar{\mathbf x} := \mathbf x_2 - \mathbf x_1,</math> skąd <math>\mathbf x_2 = \mathbf x_1 + \bar{\mathbf x},</math> co wobec dowolności <math>\mathbf x_2</math> oznacza <math>S_\mathbf b \subseteq \mathbf x_1 + S_\mathbf 0.</math> Jeśli zaś <math>\bar{\mathbf x} = \mathbf x_1 + \mathbf x_2,</math> gdzie <math>\mathbf x_1</math> należy do <math>S_\mathbf b,</math> a <math>\mathbf x_2</math> należy do <math>S_\mathbf 0,</math> to <math>\mathrm A(\bar{\mathbf x}) = \mathrm A(\mathbf x_1) + \mathrm A(\mathbf x_2) = \mathbf b + \mathbf 0,</math> czyli <math>\bar{\mathbf x}</math> należy do <math>S_\mathbf b,</math> a więc <math>\mathbf x_1 + S_\mathbf 0 \subseteq S_\mathbf b.</math> Wynika stąd, że zbiór rozwiązań układu niejednorodnego jest [[przestrzeń ilorazowa (algebra liniowa)|warstwą]] podprzestrzeni liniowej rozwiązań odpowiadającego mu układu jednorodnego, zatem jest [[podprzestrzeń afiniczna#Podprzestrzeń afiniczna|podprzestrzenią afiniczną]] tej samej przestrzeni współrzędnych.

== Uogólnienia ==
[[Plik:Affine subspace.svg|thumb|Rozwiązania nieoznaczonych układów niejednorodnych tworzą podprzestrzeń afiniczną]]
Z punktu widzenia geometrii analitycznej układ <math>m</math> równań o <math>n</math> zmiennych odpowiada zadaniu <math>m</math> [[hiperpłaszczyzna|hiperpłaszczyzn]] w <math>n</math>-wymiarowej [[przestrzeń liniowa|przestrzeni liniowej]] (lub [[przestrzeń afiniczna|przestrzeni afinicznej]]), rozwiązaniem (ogólnym) jest wtedy przestrzeń będąca [[część wspólna|częścią wspólną]] wszystkich hiperpłaszczyzn.

Stosując notację wektorową, można wykorzystać do opisu układów równań liniowych cały aparat [[algebra liniowa|algebry liniowej]]. Zbiór wszystkich kombinacji liniowych układu wektorów nazywa się ''[[podprzestrzeń liniowa#Powłoka liniowa|powłoką liniową]]''; w ten sposób układ równań ma rozwiązanie, jeśli wektor <math>\mathbf b</math> leży w powłoce generowanej przez wektory <math>\mathbf a_j.</math> Jeżeli każdy wektor powłoki można wyrazić jednoznacznie jako kombinację liniową wektorów <math>\mathbf a_j,</math> to układ jest oznaczony. W każdej powłoce można wyróżnić [[baza (przestrzeń liniowa)|bazę]] złożoną z [[liniowa niezależność|liniowo niezależnych]] wektorów, dzięki którym wspomniane wyrażenie może być jednoznaczne; liczba wektorów w bazie ([[baza (przestrzeń liniowa)|wymiar]]) nie może być większy niż <math>m</math> czy <math>n,</math> ale może być mniejsza. Rozwiązanie istnieje, gdy powłoka składa się z <math>m</math> liniowo niezależnych wektorów.

Najogólniejszą postacią [[przekształcenie liniowe|przekształcenia liniowego]] <math>\mathrm A</math> między dwoma [[przestrzeń liniowa|przestrzeniami liniowymi]] jest [[kombinacja liniowa]] zadających go wektorów <math>\mathbf a_j</math> (zob. [[twierdzenie o przekształceniu liniowym zadanym na bazie]]). Samo przekształcenie liniowe <math>\mathrm A,</math> przy ustalonych [[baza (przestrzeń liniowa)|bazach]] [[dziedzina (matematyka)|dziedziny i przeciwdziedziny]], [[macierz przekształcenia liniowego|można zapisać w postaci macierzy]] <math>\mathbf A = [\mathbf a_j].</math> Wówczas obliczaniu wartości <math>\mathrm A(\mathbf x)</math> odpowiada mnożenie <math>\mathbf{AX},</math> a rozwiązywanie układu równań jednorodnych jest w istocie wyznaczaniem [[miejsce zerowe|miejsc zerowych]] przekształcenia liniowego <math>\mathrm A.</math> Przedstawione w poprzedniej sekcji rozumowanie jest przypadkiem szczególnym ogólnego wyniku – zbiór miejsc zerowych przekształcenia liniowego, nazywany jego [[jądro (algebra liniowa)|jądrem]], tworzy podprzestrzeń liniową w dziedzinie tego przekształcenia. Wymiar powłoki wspomniany w poprzednim akapicie w przypadku macierzy nazywa się jej [[Rząd macierzy|rzędem]] (wierszowym). W ten sposób układ równań liniowych <math>\mathbf{AX} = \mathbf B</math> można traktować jako problem opisu przekształcenia liniowego <math>\mathrm A(\mathbf x) = \mathbf b,</math> przy czym istnienie rozwiązań jest tożsame z należeniem <math>\mathbf b</math> do [[Obraz (matematyka)|obrazu]] <math>\mathrm A</math> (czyli istnieniem takiego wektora <math>\mathbf x,</math> który spełniałby <math>\mathrm A(\mathbf x) = \mathbf b</math>), a ich jednoznaczność jest równoważna trywialności [[jądro (algebra)|jądra]] <math>\mathrm A</math> (czyli [[funkcja różnowartościowa|różnowartościowości]] przekształcenia). Zależność między wymiarami jądra i obrazu opisuje tzw. [[twierdzenie o rzędzie]] przekształcenia liniowego.

Powyższe obserwacje dotyczące przestrzeni i przekształceń liniowych dla układów jednorodnych zachodzą ''[[mutatis mutandis]]'' dla przestrzeni i [[przekształcenie afiniczne|przekształceń afinicznych]] w przypadku niejednorodnym. W szczególności dowolne rozwiązanie układu niejednorodnego jest [[translacja (matematyka)|translacją]] rozwiązania odpowiadającego mu układu jednorodnego. Ponadto przekształceniu afinicznemu <math>\mathrm A(\mathbf x) + \mathbf b</math> przestrzeni <math>n</math>-wymiarowej w przestrzeń <math>m</math>-wymiarową odpowiada przekształcenie liniowe
: <math>\begin{bmatrix} a_{11} & \dots & a_{1n} & b_1 \\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ a_{m1} & \dots & a_{mn} & b_m \\ 0 & \dots & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n \\ 1 \end{bmatrix}</math>

przestrzeni <math>(n+1)</math>-wymiarowej w przestrzeń <math>(m+1)</math>-wymiarową (każda przestrzeń afiniczna może być [[zanurzenie (matematyka)|zanurzona]] w przestrzeni liniowej wyższego wymiaru). Ostatni wiersz macierzy można pominąć bez utraty ogólności, co tłumaczy obserwację poczynioną w sekcji ''[[#Postać i zapis|postać i zapis]]''.

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

== Linki zewnętrzne ==
* {{otwarty dostęp}} Nagrania dla [[Khan Academy]] na [[YouTube]] [dostęp 2024-06-22]:
** Szymon Charzyński, ''[https://www.youtube.com/watch?v=2wCwMtSrxG4 Rozwiązywanie układu równań liniowych za pomocą macierzy]'', 27 czerwca 2016.
** Krzysztof Kwiecień, ''[https://www.youtube.com/watch?v=3sUlQMtW7nM Zapisywanie układów równań liniowych w postaci równań macierzowych]'', 2 października 2018.
** Krzysztof Kwiecień, ''[https://www.youtube.com/watch?v=ZXLoQnCezu4 Rozwiązywanie układów równań liniowych w postaci macierzowej]'', 25 listopada 2020.
* {{otwarty dostęp}} Paweł Lubowiecki, ''[https://www.youtube.com/watch?v=UOJUTL1WECo Układy równań algebraicznych cz. I. Definicja i oznaczenia]'', [[Wojskowa Akademia Techniczna im. Jarosława Dąbrowskiego]], kanał „Uczelnia WAT” na [[YouTube]], 30 stycznia 2024 [dostęp 2024-09-09].
* {{Cytuj stronę |url = http://sole.ooz.ie/pl/ |tytuł = Opisowe rozwiązywanie układów równań liniowych online |opublikowany = sole.ooz.ie |archiwum = https://web.archive.org/web/20110721125742/http://sole.ooz.ie/pl/ |zarchiwizowano = 2011-07-21}}
* {{MathWorld | adres = LinearSystemofEquations | tytuł = Linear System of Equations }} [dostęp 2024-03-07].

{{Kontrola autorytatywna}}

[[Kategoria:Układy równań liniowych| ]]