Wielomiany Bernsteina

Wielomiany Bernsteina – wielomiany wprowadzone w 1912 roku przez Siergieja Bernsteina w dowodzie twierdzenia Weierstrassa o przybliżeniu funkcji ciągłych.

Dla funkcji $f\colon [0,1]\to \mathbb {R} ,$ wielomian Bernsteina stopnia n jest dany wzorem:

E_{n}(f)(t)=\sum _{i=0}^{n}f\left({\frac {i}{n}}\right)B_{i}^{n}(t),

gdzie $B_{i}^{n}(t)$ to wielomiany bazowe Bernsteina dane wzorem:

B_{i}^{n}(t)={\begin{cases}{n \choose i}t^{i}(1-t)^{n-i}&{\mbox{dla}}\ i=0\ldots n\\0&{\mbox{dla}}\ i<0,\ i>n\end{cases}}

Wielomiany bazowe Bernsteina służą do przedstawiania szeroko stosowanych w grafice komputerowej: krzywych Béziera, płatów Béziera i wywodzących się z nich innych rodzajów krzywych i powierzchni (w publikacjach tyczących grafiki komputerowej często pomija się przymiotnik bazowe i używa po prostu określenia wielomiany Bernsteina).

Własności wielomianów bazowych Bernsteina

Zależność rekurencyjna

Wielomian spełnia zależność rekurencyjną:

B_{i}^{n}(t)=(1-t)B_{i}^{n-1}(t)+tB_{i-1}^{n-1}(t)

Rozkład jedynki

\sum _{i=0}^{n}B_{i}^{n}(t)=1

Dodatniość

B_{i}^{n}(t)\geqslant 0

dla

t\in [0,1]

Symetria

B_{i}^{n}(t)=B_{n-i}^{n}(1-t)

Iloczyn

B_{i}^{n}(t)B_{j}^{m}(t)

={\frac {{n \choose i}{m \choose j}}{{n+m} \choose {i+j}}}B_{i+j}^{n+m}(t)

Pochodna

{\frac {d}{dt}}B_{i}^{n}(t)=n\left(B_{i-1}^{n-1}(t)-B_{i}^{n-1}(t)\right)

Reprezentacja za pomocą wielomianów wyższego stopnia

B_{i}^{n}(t)={\frac {n+1-i}{n+1}}B_{i}^{n+1}(t)+{\frac {i+1}{n+1}}B_{i+1}^{n+1}(t)

Aproksymacja jednostajna

Niech $f:[0,1]\to \mathbb {R}$ będzie funkcją ciągłą. Wówczas ciąg wielomianów Bernsteina $\langle E_{n}(f):n=0,1,2,\dots \rangle$ jest jednostajnie zbieżny do funkcji $f.$

Wielomiany bazowe Bernsteina trzech zmiennych

Wielomiany te dane są wzorem:

B_{ijk}^{n}(r,s,t)={\begin{cases}{\frac {n!}{i!j!k!}}r^{i}s^{j}t^{k}&{\mbox{dla}}\ i,j,k\geqslant 0\ {\mbox{oraz}}\ i+j+k=n\\0&{\mbox{w przeciwnym razie}}\end{cases}}

i używane do określenia trójkątnych płatów Béziera.

Własność

B_{ijk}^{n}(ar,as,at)=a^{n}B_{ijk}^{n}(r,s,t)