Twierdzenie o zwartości

twierdzenie logiki matematycznej

Twierdzenie o zwartości – twierdzenie mówiące, że nieskończony zbiór zdań rachunku predykatów pierwszego rzędu jest spełnialny, jeśli tylko każdy jego podzbiór skończony jest spełnialny. Równoważnie, jeśli taki zbiór jest sprzeczny, to istnieje jego skończony podzbiór, który jest sprzeczny.

Dowody

edytuj

Załóżmy, że   nie jest spełnialny. Wówczas na mocy twierdzenia o pełności, zbiór ten jest sprzeczny, a co za tym idzie istnieje dowód zdania fałszywego ze zbioru założeń   Z definicji dowodu wynika, że zbiór   elementów zbioru   których użyto w tym dowodzie jest skończony. Oczywiście jest on podzbiorem zbioru   i jednocześnie na mocy twierdzenia o zgodności jest on niespełnialny. Kończy to dowód twierdzenia.

Każdy skończony podzbiór   jest spełnialny, czyli ma model   Niech   będzie zbiorem wszystkich skończonych podbiorów zbioru   i niech   dla każdego   Wówczas   czyli rodzina   ma własność skończonych przekrojów.

Wobec tego, na mocy twierdzenia o ultrafiltrze istnieje taki ultrafiltr   że   dla każdego   Wtedy na mocy twierdzenia Łosia ultraprodukt   jest modelem zbioru   bo dla każdego   zbiór   jest elementem ultrafiltru  

Zobacz też

edytuj