Regularna liczba kardynalna

Regularna liczba kardynalna – nieskończona liczba kardynalna, która nie może być przedstawiona jako suma mniej niż κ zbiorów mocy mniejszej niż κ. Nieskończone liczby kardynalne które nie są regularne nazywamy liczbami singularnymi.

W dalszej części tego artykułu zakładamy ZFC. (Bez AC, niektóre z definicji należy sformułować inaczej i niektóre stwierdzenia nie są prawdziwe).

Definicje

Pojęcia wstępne

• Liczba porządkowa $\alpha$ jest początkową liczbą porządkową jeśli $\alpha$ nie jest równoliczna z żadną liczbą porządkową od niej mniejszą. Początkowe liczby porządkowe nazywamy liczbami kardynalnymi.
• Przy założeniu ZFC, każdy zbiór A jest równoliczny z pewną liczbą kardynalna – liczba ta jest nazywana mocą zbioru A i jest oznaczana przez $|A|.$
• Skończone liczby kardynalne to liczby naturalne: 0, 1, 2, ..., a najmniejsza nieskończona liczba kardynalna to $\aleph _{0},$ moc zbioru wszystkich liczb naturalnych.
• Następnik liczby kardynalnej $\kappa$ to pierwsza liczba kardynalna większa od $\kappa$ (jest on oznaczany przez $\kappa ^{+}$).
• Kofinalność (albo współkońcowość) nieskończonej liczby kardynalnej $\kappa$ to najmniejsza liczba kardynalna $\mu$ taka, że każdy zbiór mocy $\kappa$ może być przedstawiony jako suma $\mu$ wielu zbiorów mocy mniejszej niż $\kappa {:}$

$\mathrm {cf} (\kappa )=\min {\Big \{}\mu \in \mathbf {CN} \colon \,\kappa =\bigcup \{A_{\alpha }\colon \,\alpha <\mu \}$ dla pewnych zbiorów $A_{\alpha }\subseteq \kappa$ o tej własności, że dla wszystkich $\alpha <\mu$ zachodzi $|A_{\alpha }|<\kappa {\Big \}}.$

Warto zauważyć, że zdefiniowana powyżej współkońcowość liczby κ zgadza się ze współkońcowością tej liczby jako porządku liniowego:

$\mathrm {cf} (\kappa )=\min\{\alpha \in \mathbf {ON} {:}$ istnieje rosnący ciąg $\langle \xi _{\beta }:\beta <\alpha \rangle$ taki że $(\forall \beta <\alpha )(\xi _{\beta }<\kappa )$ oraz $(\forall \zeta <\kappa )(\exists \beta <\alpha )(\zeta <\xi _{\beta })\}.$

Liczby regularne i liczby singularne

Niech $\kappa \geqslant \aleph _{0}$ będzie liczbą kardynalną.

Jeśli $\mathrm {cf} (\kappa )=\kappa$ to mówimy, że $\kappa$ jest liczbą regularną.

Jeśli $\mathrm {cf} (\kappa )<\kappa$ to mówimy, że $\kappa$ jest liczbą singularną.

Podstawowe własności

• $\aleph _{0},\aleph _{1},\aleph _{2}$ są liczbami regularnymi.
• Każdy następnik kardynalny jest liczbą regularną.
• $\aleph _{\omega }$ jest najmniejszą liczbą singularną. Następną taką liczbą jest $\aleph _{\omega +\omega }.$
• Jeśli $\alpha$ jest graniczną liczbą porządkową, to $\mathrm {cf} (\aleph _{\alpha })=\mathrm {cf} (\alpha ).$ Zatem dla granicznych $\alpha ,$ $\aleph _{\alpha }$ jest regularną liczbą kardynalną wtedy i tylko wtedy gdy $\aleph _{\alpha }=\alpha$ jest liczbą nieosiągalną.
• Z punktu widzenia arytmetyki liczb kardynalnych, liczby regularne zachowują się całkowicie inaczej niż liczby singularne:
  • Zachowanie funkcji $\kappa \mapsto 2^{\kappa }$ dla liczb regularnych jest ograniczone jedynie przez warunek $\kappa <\mathrm {cf} (2^{\kappa })$ i przez trywialny warunek $\kappa <\lambda \Rightarrow 2^{\kappa }\leqslant 2^{\lambda }.$ Przypuśćmy mianowicie, że F jest rosnącą funkcją określoną na wszystkich regularnych liczbach kardynalnych której wartościami są nieskończone liczby kardynalne i taką, że $\kappa <\mathrm {cf} (\mathbf {F} (\kappa ))$ dla wszystkich regularnych $\kappa .$ Wówczas jest niesprzecznym z ZFC, że $2^{\kappa }=\mathbf {F} (\kappa )$ dla wszystkich regularnych liczb kardynalnych $\kappa .$
  • Jeszcze nie rozumiemy do końca funkcji $\kappa \mapsto 2^{\kappa }$ dla liczb singularnych. Teoria PCF demonstruje nietrywialne ograniczenia zachowania tej funkcji.
    Hipoteza liczb singularnych (SCH) to zdanie stwierdzające, że dla każdej nieskończonej liczby kardynalnej $\kappa ,$ jeśli $2^{\mathrm {cf} (\kappa )}<\kappa$ to $\kappa ^{\mathrm {cf} (\kappa )}=\kappa ^{+}$. Przy założeniu SCH, potęgi liczb kardynalnych są wyznaczone przez funkcję $\kappa \mapsto 2^{\kappa }$ dla liczb regularnych. Naruszenie SCH jest związane z dużymi liczbami kardynalnymi: Z naruszenia SCH można znaleźć pewne duże liczby kardynalne w modelach wewnętrznych; a jeśli istnieją wystarczająco duże liczby kardynalne, można skonstruować modele naruszające SCH.