Różnica zbiorów

Różnica zbiorów $A$ i $B$ – podzbiór zbioru $A$ złożony z tych elementów, które nie należą do $B,$ oznaczany $A\setminus B$ – ukośnikiem wstecznym, niekiedy także minusem: $A-B$. Formalnie:

Różnica zbiorów $B$ i $A$ oznaczona kolorem fioletowym.

$x\in (A\setminus B)\Leftrightarrow (x\in A)\land (x\notin B),$

co jest równoważne

$A\setminus B=\{x\in \Omega \;:\;x\in A\land x\notin B\}$${}=\{x\in A\;:\;x\notin B\}$,

gdzie $\Omega$ jest zbiorem wszystkich rozważanych elementów zwanym przestrzenią lub uniwersum.

Za pomocą różnicy zbiorów można zdefiniować dwie inne operacje: różnicę symetryczną i dopełnienie zbioru.

Przykłady

• Niech $\mathbb {Q}$ będzie zbiorem liczb wymiernych, a $\mathbb {R}$ niech będzie zbiorem liczb rzeczywistych. Wówczas $\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q}$ jest zbiorem liczb niewymiernych $\mathbb {I} \mathbb {Q} {:}$

$\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} =\mathbb {I} \mathbb {Q} .$

• Jeżeli $A=\{a,b,c\},$ a $B=\{b,c,d\},$ to $A\setminus B=\{a\}.$

Własności

Ogólne

Różnica zbiorów:

• nie jest przemienna – w ogólności $A\backslash B\neq B\backslash A;$
• nie jest łączna – w ogólności $(A\backslash B)\backslash C\neq A\backslash (B\backslash C);$ przykładowo $(A\backslash A)\backslash A=\emptyset \backslash A=\emptyset ,A\backslash (A\backslash A)=A\backslash \emptyset =A;$
• ma jeden idempotent: $A\backslash A=A\Rightarrow \emptyset =A;$
• ma prawostronny element neutralny: $A\backslash \emptyset =A;$
• ma lewostronny element absorbujący: $\emptyset \backslash A=\emptyset .$

Związki z inkluzją

$A$ jest podzbiorem $B$ (czyli zbiór $A$ zawiera się w $B$) wtedy i tylko wtedy, gdy różnica $A\backslash B$ jest zbiorem pustym:

$A\subseteq B\Leftrightarrow A\setminus B=\varnothing .$

Z inkluzji dwóch par zbiorów można wywnioskować inkluzję pewnych różnic:

$A\subseteq B\land C\subseteq D\Rightarrow A\backslash D\subseteq B\backslash C.$

Definicja przekroju

Diagram Venna przedstawiający prawostronną rozdzielność różnicy zbiorów względem ich sumy: $(S\cup P)\backslash M=$$(S\backslash M)\cup (P\backslash M).$

Za pomocą różnicy można zdefiniować także przekrój (część wspólną) zbiorów:

$A\cap B=A\setminus (A\setminus B)$.

• Dowód:

$x\in A\setminus (A\setminus B)\Leftrightarrow (x\in A)\wedge \neg [x\in (A\setminus B)]\Leftrightarrow (x\in A)\wedge \neg [(x\in A)\wedge \neg (x\in B)]\Leftrightarrow$

$(x\in A)\wedge [\neg (x\in A)\vee (x\in B)]\Leftrightarrow [(x\in A)\wedge \neg (x\in A)]\vee [(x\in A)\wedge (x\in B)]\Leftrightarrow$

$(x\in A)\wedge (x\in B)\Leftrightarrow x\in A\cap B\ \blacksquare$

Prawa rozdzielności

Różnica zbiorów jest prawostronnie rozdzielna względem sumy zbiorów:

$(A\cup B)\backslash C=(A\backslash C)\cup (B\backslash C).$

Iloczyn kartezjański jest rozdzielny względem różnicy zbiorów:

$A\times (B\backslash C)=(A\times B)\backslash (A\times C).$

Prawa De Morgana i dualności

Ilustracja praw De Morgana dla różnicy zbiorów.

Różnica zbiorów nie jest rozdzielna lewostronnie względem sumy ani przekroju zbiorów, ale zachodzą podobne równości, zaliczane do praw De Morgana:

$A\backslash (B\cup C)=(A\backslash B)\cap (A\backslash C);$

$A\backslash (B\cap C)=(A\backslash B)\cup (A\backslash C).$

W teorii zbiorów i jej zastosowaniach ważną rolę odgrywa tak zwana zasada dualności, która jest oparta na dwóch następujących tożsamościach:

• Dopełnienie sumy zbiorów jest równe iloczynowi ich dopełnień:

$X\setminus \bigcup \limits _{i}A_{i}=\bigcap \limits _{i}(X\setminus A_{i}).$

• Dopełnienie iloczynu zbiorów jest równe sumie ich dopełnień:

$X\setminus \bigcap \limits _{i}A_{i}=\bigcup \limits _{i}(X\setminus A_{i}).$

Zasada dualności w teorii mnogości polega na tym, że z dowolnej równości, dotyczącej podzbiorów ustalonego zbioru $X$ można całkiem automatycznie uzyskać równość dualną, zastępując wszystkie zbiory ich dopełnieniami, sumy – iloczynami, a iloczyny – sumami.

Bibliografia

• A.N. Kołmogorow, S.W. Fomin: Elementy teorii funkcji i analizy funkcjonalnej (wyd. ros.). Wyd. 2. Nauka, 1989. ISBN 5-02-013993-9.
• Kazimierz Kuratowski, Andrzej Mostowski: Teoria mnogości. Warszawa: Polskie Towarzystwo Matematyczne, 1952, seria: Monografie matematyczne, t. 27. OCLC 250182901. [dostęp 2016-09-23].
• Kazimierz Kuratowski: Wstęp do teorii mnogości i topologii. Wyd. 5. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1972, seria: Biblioteka Matematyczna.
• Kazimierz Kuratowski: Wstęp do teorii mnogości i topologii. Wyd. 8. Warszawa: PWN, 1980, seria: Biblioteka Matematyczna, t. 9. ISBN 83-01-01372-9.
• Roman Leitner: Zarys matematyki wyższej dla studentów. Wyd. 11. Cz. 1. Warszawa: WNT, 1999. ISBN 83-204-2395-3.
• Zdzisław Opial: Algebra wyższa. PWN, 1972.
• Helena Rasiowa: Wstęp do matematyki współczesnej. Wyd. 5. Warszawa: PWN, 1975, seria: Biblioteka Matematyczna, t. 30. OCLC 749626864.
• Helena Rasiowa: Wstęp do matematyki współczesnej. Wyd. 14. Warszawa: PWN, 2004. ISBN 83-01-14294-4.
• Kenneth A. Ross, Charles R.B Wright: Matematyka dyskretna. E. Sepko-Guzicka (tłum.), W. Guzicki (tłum.), P. Zakrzewski (tłum.). Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 1996. ISBN 83-01-12129-7.

Linki zewnętrzne

• Szymon Charzyński, Różnica zbiorów, kanał Khan Academy Po Polsku na YouTube, 24 września 2013 [dostęp 2023-09-07].