Operator różniczkowy

Operator różniczkowyoperator określony na przestrzeni funkcji różniczkowalnych, definiujący proces tworzenia z danej funkcji nowej funkcji za pomocą operacji różniczkowania. Operatorem różniczkowym może być na przykład operator, który tworzy nową funkcję, będącą sumą pierwszej i drugiej pochodnej danej funkcji (patrz: Przykład poniżej).

Dziedziną operatora nazywa się zbiór wszystkich funkcji, na których określony jest dany operator. Przy tym mogą to być funkcje jednej lub wielu zmiennych, funkcje skalarne, wektorowe i ogólnie – funkcje tensorowe.

Definicja

edytuj

Rozważmy przestrzeń funkcji   klasy   gdzie   jest zbiorem otwartym. Wówczas operatorem różniczkowym rzędu   określonym na tej przestrzeni nazwiemy operator liniowy

 

gdzie   jest wielowskaźnikiem, a   są pewnymi funkcjami[1]. Przez   rozumie się operatory pochodnych cząstkowych dane przez

 

Przykład

edytuj

Operator różniczkowy   dany jest wzorem:

 

Funkcje, na które można działać operatorem   muszą być klasy   tj. muszą to być funkcje różniczkowalne co najmniej dwukrotnie. Dziedziną operatora jest więc zbiór funkcji klasy  

Np. działając operatorem   na funkcję

 

otrzyma się

 

czyli

 

Własności operatora różniczkowego

edytuj

Tw. 1 Operator różniczkowy jest operatorem liniowym, tj.

 
 

gdzie:

  – dane funkcje,
  – stała liczba.

Tw. 2 Dowolny wielomian utworzony z operatora różniczkowego   też jest operatorem różniczkowym.

Operator różniczkowy nabla

edytuj

Współrzędne kartezjańskie 3-wymiarowe

edytuj

Operator nabla   we współrzędnych kartezjańskich ma postać

 

Wynik działania operatora nabla zależy od tego, na jaką funkcję działa i w jaki sposób:

Czterowymiarowa czasoprzestrzeń

edytuj

Operator nabla zapisany w czterowymiarowej czasoprzestrzeni ma 4 współrzędne – analogicznie jak czterowektory czasoprzestrzeni

 

Operator nabla jest jednym z najpowszechniejszych operatorów różniczkowych fizyki: występuje np. w równaniach Maxwella (fundamentalne równania elektrodynamiki), w równaniu Schrödingera (fundamentalne równanie mechaniki kwantowej), w równaniu dyfuzji (fundamentalne równanie fizyki transportu). W postaci czterowymiarowej występuje w równaniach fizyki relatywistycznej, np. w równaniu Diraca mechaniki kwantowej, w równaniach Einsteina ogólnej teorii względności.

Operatory utworzone z operatora nabla

edytuj
  • dalambercjan – to iloczyn skalarny operatora nabla 4-wymiarowego
     
    lub
     

Zobacz też

edytuj

Typy operatorów:

Przypisy

edytuj