Kwantowanie (fizyka)

Kwantowanie, kwantyzacja — konstrukcja pozwalająca na przejście z klasycznej teorii pola do kwantowej teorii pola. Kwantowanie jest uogólnieniem konstrukcji stosowanej przy przejściu z mechaniki klasycznej do mechaniki kwantowej.

W bardziej popularnym znaczeniu przez kwantowanie rozumie się fakt istnienia skończonego lub przeliczalnego zbioru dopuszczalnych wartości danej wielkości. Na przykład mówiąc, że energia elektronu w atomie jest skwantowana rozumie się przez to, że możliwe do zaobserwowania są tylko określone jej wartości, zwane w tym przypadku poziomami energetycznymi.

Metody kwantowania

Kwantowanie kanoniczne

W mechanice klasycznej układ opisywany jest przez funkcję Hamiltona (hamiltonian będący funkcją położeń uogólnionych $q_{i}$ i pędów uogólnionych $p_{i}$ - zmiennych kanonicznych). W formalizmie kanonicznym wprowadza się nawiasy Poissona definiowane jako

$\lbrace A,B\rbrace =\sum _{i=1}{\Big (}{{\partial A} \over {\partial q_{i}}}{{\partial B} \over {\partial p_{i}}}-{{\partial A} \over {\partial p_{i}}}{{\partial B} \over {\partial q_{i}}}{\Big )}$.

Zgodnie z definicją nawiasy Poissona dla zmiennych kanonicznych wynoszą odpowiednio (k i l indeksują zmienne kanoniczne)

$\ \lbrace q_{l},q_{k}\rbrace =0$

$\ \lbrace p_{l},p_{k}\rbrace =0$

$\ \lbrace q_{l},p_{k}\rbrace =\delta _{lk}$

Kwantowanie kanoniczne polega na zmianie zmiennych kanonicznych na operatory oraz nawiasów Poissona na komutatory

$\lbrace \,.\,,\,.\,\rbrace \longrightarrow {\frac {1}{i\hslash }}[\,.\,,\,.\,]$

czyli

${\hat {H}}=H({\hat {q}},{\hat {p}},t)$

$[{\hat {q}}_{l},{\hat {q}}_{k}]=0$

$[{\hat {p}}_{l},{\hat {p}}_{k}]=0$

$[{\hat {q}}_{l},{\hat {p}}_{k}]=i\hslash \delta _{lk}$

Popularnym sposobem kwantyzacji jest wprowadzenie funkcji falowej. Korzysta się z faktu, że na przestrzeni funkcji $\Psi (q)$ można wprowadzić operatory

${\hat {q}}_{i}\Psi (q)=q_{i}\Psi (q)$

${\hat {p}}_{i}\Psi (q)=-i\hslash {\frac {\partial \Psi (q)}{\partial q_{i}}}$

spełniające odpowiednie reguły komutacyjne. W ten sposób problem znalezienia stanów własnych pewnych operatorów sprowadza się do rozwiązania odpowiedniego równania różniczkowego.

Przykład nierelatywistycznej cząstki swobodnej

Klasyczny hamiltonian opisujący taką cząstkę ma postać $H={\frac {1}{2m}}{\vec {p}}^{\,2}$. Odpowiadający mu kwantowy operator to ${\hat {H}}=-{\frac {\hslash ^{2}}{2m}}\Delta$. Szukając stanu kwantowego o ustalonej wartości energii rozwiązujemy równanie

$-{\frac {\hslash ^{2}}{2m}}\Delta \Psi ({\vec {x}})=E\Psi ({\vec {x}})$

Możliwe jest jednoczesne żądanie ustalonej wartości pędu:

$-i\hslash {\vec {\nabla }}\Psi ({\vec {x}})={\vec {k}}\Psi ({\vec {x}})$

Rozwiązując te równania znajdujemy

$\Psi ({\vec {x}})=Ne^{\frac {i{\vec {k}}\cdot {\vec {x}}}{\hslash }}$

$E={\frac {1}{2m}}{\vec {k}}^{\,2}$

W tym przypadku kwantowy związek między energią i pędem jest taki sam jak klasyczny.

Zobacz też

• mechanika kwantowa
• mechanika klasyczna
• hamiltonian
• nawias Poissona
• funkcja falowa

Bibliografia

• Weinberg Steven, Teoria pól kwantowych (Wydawnictwo Naukowe PWN, 2001)