Kwantowanie (fizyka): Różnice pomiędzy wersjami
| [wersja przejrzana] | [wersja przejrzana] |
Usunięta treść Dodana treść
wstawienie {{Kontrola autorytatywna}} |
|||
| (Nie pokazano 18 wersji utworzonych przez 14 użytkowników) | |||
Linia 1:
'''Kwantowanie''', '''kwantyzacja'''<ref
W bardziej popularnym znaczeniu przez '''kwantowanie''' rozumie się fakt istnienia skończonego lub [[zbiór przeliczalny|przeliczalnego]] zbioru dopuszczalnych wartości danej wielkości. Na przykład mówiąc, że energia elektronu w atomie jest skwantowana rozumie się przez to, że możliwe do zaobserwowania są tylko określone jej wartości, zwane w tym przypadku [[poziom energetyczny|poziomami energetycznymi]].
== Metody kwantowania ==
=== Kwantowanie kanoniczne ===
W mechanice klasycznej układ opisywany jest przez funkcję Hamiltona ([[hamiltonian]] będący funkcją położeń uogólnionych <math>q_i</math> i pędów uogólnionych <math>p_i</math>
: <math>
Zgodnie z definicją nawiasy Poissona dla zmiennych kanonicznych wynoszą odpowiednio (
▲położeń uogólnionych <math>q_i</math> i pędów uogólnionych <math>p_i</math> - zmiennych kanonicznych). W formalizmie kanonicznym wprowadza się nawiasy Poissona definiowane jako
Kwantowanie kanoniczne polega na zmianie zmiennych kanonicznych na operatory oraz nawiasów Poissona na komutatory▼
▲<math> \lbrace A,B \rbrace = \sum _{i=1} \Big ( {{\partial A} \over {\partial q_i}} {{\partial B} \over {\partial p_i}}
▲Zgodnie z definicją nawiasy Poissona dla zmiennych kanonicznych wynoszą odpowiednio (''k'' i ''l'' indeksują
: <math>[\hat q_l,\hat p_k] = i \hslash\delta_{lk}.</math>
Popularnym sposobem kwantyzacji jest wprowadzenie [[funkcja falowa|funkcji falowej]]. Korzysta się z faktu, że na przestrzeni funkcji <math>\Psi(q)</math> można wprowadzić operatory▼
▲:<math>\ \lbrace q_l,q_k \rbrace =0</math>
: <math>\hat q_i\
: <math>\hat p_i\
spełniające odpowiednie reguły komutacyjne. W ten sposób problem znalezienia [[
==== Przykład nierelatywistycznej cząstki swobodnej ====▼
▲Kwantowanie kanoniczne polega na zmianie zmiennych kanonicznych na operatory
Klasyczny hamiltonian opisujący taką cząstkę ma postać <math>H = \frac{1}{2m}
: <math>-\frac{\hslash^2}{2m}\Delta\Psi(\vec x) = E\Psi(\vec x).</math>▼
▲:<math> \lbrace\, .\,,\,.\, \rbrace \longrightarrow \frac{1}{i \hslash}[\,.\,,\,.\,]</math>
▲czyli
▲:<math> \hat H = H(\hat q, \hat p, t)</math>
▲:<math> [\hat q_l,\hat q_k ]=0</math>
▲:<math> [\hat p_l,\hat p_k ]=0</math>
▲:<math> [\hat q_l,\hat p_k ]=i \hslash\delta_{lk}</math>
▲Popularnym sposobem kwantyzacji jest wprowadzenie [[funkcja falowa|funkcji falowej]]. Korzysta się z faktu, że na przestrzeni funkcji
▲:<math>\hat q_i\Psi(q) = q_i\Psi(q) </math>
▲spełniające odpowiednie reguły komutacyjne. W ten sposób problem znalezienia [[wektor własny|stanów własnych]] pewnych operatorów sprowadza się do rozwiązania odpowiedniego równania różniczkowego.
▲====Przykład nierelatywistycznej cząstki swobodnej====
▲Klasyczny hamiltonian opisujący taką cząstkę ma postać <math>H = \frac{1}{2m}{\vec p}^{\,2}</math>. Odpowiadający mu kwantowy operator to
▲:<math>-\frac{\hslash^2}{2m}\Delta\Psi(\vec x) = E\Psi(\vec x)</math>
Możliwe jest jednoczesne żądanie ustalonej wartości pędu:
Rozwiązując te równania, znajdujemy▼
▲:<math>-i\hslash\vec\nabla\Psi(\vec x) = \vec k\Psi(\vec x) </math>
▲Rozwiązując te równania znajdujemy
▲:<math> \Psi(\vec x) = N e^{\frac{i\vec k\cdot\vec x}{\hslash}} </math>
▲:<math> E = \frac{1}{2m}{\vec k}^{\, 2}</math>
W tym przypadku kwantowy związek między energią i pędem jest taki sam jak klasyczny.
== Zobacz też ==
* [[funkcja falowa]]▼
* [[hamiltonian]]▼
* [[mechanika klasyczna]]▼
* [[mechanika kwantowa]]
▲* [[mechanika klasyczna]]
▲* [[hamiltonian]]
* [[nawias Poissona]]
▲* [[funkcja falowa]]
== Przypisy ==
{{Przypisy}}
== Bibliografia ==
*
{{Kontrola autorytatywna}}
[[Kategoria:Mechanika kwantowa]]
| |||