Algebraisk funksjon

En algebraisk funksjon ble opprinnelig definert som en matematisk funksjon som kunne uttrykkes ved de fire algebraiske regneoperasjonene addisjon, subtraksjon, multiplikasjon og rotutdragning. Nå defineres den mer generelt som løsningen av en polynomligning i to eller flere variable. Etter at Niels Henrik Abel i 1824 viste at femtegradsligningen og andre polynomligninger av høyere grad ikke i alminnelighet kan løses ved bruk av disse fire regneoperasjonene, ble det klart at algebraiske funksjoner er mye mer kompliserte og innholdsrike enn opprinnelig antatt. Bruk av komplekse tall er nødvendig for å få en full forståelse av deres egenskaper.

Motstykket til algebraiske funksjoner, er transcendente funksjoner. Eksempler på disse er eksponentialfunksjon, trigonometriske funksjoner og hyperbolske funksjoner. Disse kan ikke uttrykkes som løsninger av algebraisk ligninger.

Hvis de variable i polynomligningen som definerer den algebraiske funksjonen, er koordinater i et affint rom, vil den fremstille en geometrisk varietet i dette rommet. Algebraiske funksjoner spiller derfor en viktig rolle i algebraisk geometri. I det spesielle tilfellet med to variable, vil en slik funksjonen beskrive en algebraisk kurve. De var utgangspunktet for Niels Henrik Abel og Carl Gustav Jacobi ved oppdagelsen av elliptiske funksjoner for knapt to hundre år siden og benyttes i dag ved kryptering i moderne elektronisk kommunikasjon.

Matematiske egenskaper

Basert på den enkleste definsjonen av en algebraisk funksjon, vil noen typisk eksempel være

• $f(x)={1 \over 2+3x}$
• $f(x)=(4-x^{4})^{1/5}$
• $f(x)={x \over 2^{1/3}}\left[{\Big (}-1+{\sqrt {1-4/x^{3}}}{\Big )}^{1/3}+{\Big (}-1-{\sqrt {1-4/x^{3}}}{\Big )}^{1/3}\right]$

i det enkleste tilfelle med kun en fri variabel. De er alle løsninger av algebraisk ligninger som uttrykkes ved polynomer. For eksempel så er den siste funksjonen løsning av polynomligningen y³ - 3xy + x³ = 0.

Generelt er en algebraisk funksjon av en variabel y = f(x) løsning av en ligning av formen

$a_{n}(x)y^{n}+a_{n-1}(x)y^{n-1}+\cdots +a_{0}(x)=0$

hvor a_k(x) er et polynom i den variable x. Eksponenten n definerer i stor grad funksjonens kompleksitet. I det spesielle tilfelle n = 1, har man den opplagte løsningen

$f(x)=-{a_{0}(x) \over a_{1}(x)}$

Derfor er alle rasjonelle funksjoner algebraiske funksjoner. Polynomet i teller kan ta verdien lik null slik at funksjonen selv kan ha slike nullpunkter. Tilsvarende nullpunkter i nevneren vil få funkjonen til å divergere mot uendelig.

Når n = 2, 3 eller 4, kan algebraiske løsninger av polynomligningen finnes. Det mest kjente eksemplet er andregradsligningen for n = 2. I disse tilfellene vil løsningene i alminnelighet inneholde kvadratrøtter, tredje- og fjerderøtter. Abel viste at når n > 4 finnes det generelt ingen slike algebraiske løsninger. Men likevel kan funksjonen i stor grad studeres ved at den er en «implisitt funksjon» definert ved dens polynomligning.

Algebraiske kurver

Den kubiske kurven med navnet bladet til Descartes er vist i grønt for a = 1, mens dens asymptote er blå.

Med bare en fri variabel, kan x og y i polynomligningen betraktes som koordinatene i et affint rom. Er disse reelle tall, tilsvarer det vektorrommet R². Den algebraiske løsningen y = f(x) av ligningen beskriver da en kurve i planet. Det er eksempel på en endimensjonal varietet. Grunnet sitt opphav i en algebraisk ligning, kalles den derfor for en algebraisk kurve. Et enkelt eksempel er sirkelen som er beskrevet ved ligningen x² + y² = 1 når den har radius r = 1 og senter i origo. På samme måte er hyperbelen y = 1/x også en algebraisk kurve.

Hvert ledd i polynomet som definerer kurven, er et monom av formen y^kx^m. Det sies å ha en grad som er lik med summen k + m av eksponentene til de to variablene i leddet. Monomet med den høyeste graden definerer graden til hele polynomet. En rett linje gitt ved ligningen ax + by + c = 0 har derfor grad lik med 1, mens en sirkel er en kurve av andre grad. Det er også en hyperbel hvis ligning kan skrives som xy = 1. De tre kjeglesnittene ellipse, parabel og hyperbel kan uttrykkes ved polynom av andre grad og har derfor grad lik med 2. I et projektivt plan er de ekvivalente med en ellipse.

Kubiske kurver

Algebraiske kurver av tredje grad sies å være «kubiske». Et eksempel er «bladet til Descartes» gitt ved polynomligningen

$x^{3}+y^{3}-3axy=0$.

Kurven har en asymptote gitt ved linjen x + y + a = 0. Den skjærer seg selv i origo som dermed blir et «dobbelpunkt». Det finnes et stort antall forskjellig kubiske kurver. De ble første klassifisert av Newton som fant 72 forskjellige typer. Ved bruk av forskjellige koordinattransformasjoner kan antallet sterkt reduseres. Dette tlsvarer å se kurvene fra forskjellige vinkler, noe som kan beskrives i projektiv geometri.

En viktig gruppe av kubiske kurver kan beskrives ved en algebraisk funksjon av formen

$y^{2}=x^{3}+ax+b$

Avhengig av parametrene a og b kan denne beskriver en elliptisk kurve. Disse brukes i moderne kryptering av elektronisk kommunikasjon. Disse kurvene er av tredje grad og har derfor lite å gjøre med den vanlige ellipse.

Riemann-flater

Graden til en algebraisk kurve angir det maksimale antall skjæringspunkt den vil ha med en rett linje. En annengradskurve som sirkelen har derfor to reelle skjæringspunkt når linjen skjærer sirkelen, men ingen når linjen går utenom. På tilsvarende måte vil to sirkler kunne skjære hverandre i maksimalt to punkter eller ingen. Derimot vil to ellipser kunne skjære hverandre i maksimalt fire punkt, men også to eller null skjæringspunkt er mulig avhengig av deres relative posisjoner.

Ved å akseptere ikke-reelle skjæringspunkt beskrevet ved komplekse tall, får man frem egenskapene ved kurvene som er uavhengig av deres posisjoner og kun gitt av graden av de tilsvarende algebraiske funksjonene. Slike sikre fakta er av stor betydning i matematikken. Bruk av komplekse variable i algebraiske funksjoner og som koordinater for algebraiske kurver har derfor vist seg å være særdeles viktig. En linje vil da alltid skjære et kjeglesnitt i to punkt, og to kjeglesnitt vil alltid skjære hverandre i fire punkt.

Med bruk av komplekse koordinater vil ligningen y = f(x) da beskrive en algebraisk kurve med kompleks dimensjon lik en i et todimensjonalt, komplekst plan C². Uttrykt med reelle koordinater, tilsvarer dette en todimensjonal varietet eller flate i et firedimensjonalt, reelt rom. Dette kalles en Riemann-flate etter Bernhard Riemann som var den som innførte dette synspunktet og startet utforskningen av deres egenskaper. Hans resultat var en direkte videreføring av arbeidene til Abel og Jacobi med elliptiske funksjoner.

Algebraiske flater

En enkappet hyperboloide er en kvadratisk, algebraisk flate.

Når polynomligningen som definerer den algebraiske funksjonen, inneholder tre reelle variable x, y og z, vil løsningen z = f(x,y) generelt beskrive en «algebraisk flate». Dette er en flate med spesielle egenskaper gitt ved den underliggende ligningen.

Det enkleste eksemplet er ligningen ax + by + cz + d = 0 av første grad. Den beskriver et plan i det tredimensjonale rommet R³. En funksjon av andre grad er x² + y² + z² = 1 som beskriver en kuleflate med radius r = 1 og senter i origo. Av andre grad er også ligningen

${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}-{z^{2} \over c^{2}}=1$

Kubisk flate med algebraisk ligning x²(1 - 2z) + y²(1 - z) - (1 - 2z)(1 - z) = 0.

som beskriver en enkappet hyperboloide. I det spesielle tilfellet at a = b er det en «rotasjonsflate» som fremkommer ved å rotere en hyperbel om z-aksen. Tilsvarende kan de andre kjeglesnittene generere flater som også sies å være kvadratiske da de er beskrevet av ligninger av andre grad.

Mer komplisert og derfor tilsvarende mer interessant er algebraiske ligninger av tredje grad som derfor sies å være «kubiske». De tilsvarende algebraiske flatene er ofte fascinerende med vakre former. Deres egenskaper ble systematisk undersøkt av Arthur Cayley for omtrent hundre og femti år siden. Han viste at mange av dem er linjerte flater på den måten at det kan legges rette linjer inn i dem. Sammen med en medarbeider fant han at en kubisk flate kan inneholde opp til 27 slike linjer. Et eksempel på en slik flate er gitt ved ligningen

$3z-3xy+x^{3}=0$

som har fått Cayleys navn knyttet til seg. Som for algebraiske kurver, kommer egenskapene til slike flater lettere frem ved å bruke metoder fra projektiv geometri og komplekse variable. Generaliseringer av dette til variteter med høyere dimensjoner er et meget aktivt felt innen algebraisk geometri.

Abelsk integral

Integral av algebraiske funksjoner har mange spesielle og viktige egenskaper som var grunnlaget til arbeidene av Abel og Jacobi. Mer generelt betraktet de integralene av rasjonale funksjoner av formen

$R(x,y)={N(x,y) \over D(x,y)}$

hvor teller og nevner er polynom i to variable hvorav y = f (x) er en algebraisk funksjon. Slike integral sies i dag å være abelske.

En spesiell viktig klasse spilte de elliptiske integralene som tilhører klassen av abelske integral hvor den algebraiske funksjonen er løsning av polynomligningen y² = P(x)  hvor polynomet P(x)  er av tredje eller fjerde grad. Disse integralene var blitt inngående studert av Legendre. Han viste at de kunne alle bli redusert til tre standardformer som han undersøkte og numerisk beregnet med stor nøyaktighet. Gjennombruddet til Abel og Jacobi besto i å betrakte de inverse funksjonene som integralene definerte. Det førte dem til oppdagelsen av elliptiske funksjoner. Disse har to perioder i motsetning til de trigonometriske funksjonene som bare har én.

Når polynomet P(x)  er av høyere grad enn fire, sies det abelske integralet å være hyperelliptisk. I sin tur leder disse til generaliseringer av de elliptiske funksjonene. De har 2g  perioder hvor g er genus til Riemann-flaten som den algebraiske funksjonen y = f (x) definerer.

Eksterne lenker

• Encyclopedia of Mathematics, Algebraic function med definisjoner og referanser til matematisk literatur.
• E. Weisstein, Algebraic Function, Wolfram MathWorld.