Fourier-transformasjon

Fourier-transformasjon (ofte forkorta til FT) er ei lineæravbilding som transformerer ein funksjon av reelle variablar med komplekse verdiar til ein annan. I applikasjonar som signalhandsaming transformerer ein typisk frå tidsplanet til frekvensplanet. Dette kan samanliknast med at ein akkord i musikk kan skildrast av notane som vert spelt. Så i praksis så dekomponerer fouriertransformasjonen ein funksjon, eller eit signal, i ein sum av oscillerande funksjonar, som kan uttrykkast som $\cos$- og $\sin$-funksjonar, eller som ein sum av eksponentialfunksjonar.

Fourier-transformasjon og generaliseringane er emne i Fourier-analyse. Det er mogeleg å definere Fourier-transformasjonen til ein funksjon av fleire variablar, noko som til dømes er viktig i det fysiske studiet av bølgjer og biletehandsaming. Det er òg mogleg å generalisere Fourier-transformasjonen på diskrete strukturar som endelege grupper.

Definisjon

Det finst fleire vanlege måtar å definere fouriertransformasjonen av ein integrerbar funksjon. Denne artikkelen nyttar definisjonen:

$X(\omega ):=\int _{-\infty }^{\infty }x(t)\ e^{-j\omega t}\,dt,$  for $t$ ∈ $[-\infty ,\infty ]$,

der $j={\sqrt {-1}}$. Når variabelen $x(t)$ representerer tid (med SI-eininga sekund), representerer transformasjonsvariabelen $X(\omega )$ vinkelfrekvens, som kan konverterast til temporal frekvens $f=\omega /(2\pi )$ (i Hz). Etter som Fourier-transformasjonen dekomponerer signalet $x(t)$ i frekvenskomponentar $X(\omega )$, med ulik frekvens og amplitude, vert ho kalla analyselikninga.

Invers Fourier-transformasjon

Invers transformasjon, som typisk transformerer frå frekvensplanet til tidsplanet, vert definert som

$x(t)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }X(\omega )\ e^{j\omega t}d\omega ,$   for alle reelle t.

Faktoren $1/(2\pi )$ er ein skaleringskonstant, som syter for at energien er den same i tids- og frekvensplanet; sjå Parsevals teorem. Etter som den inverse Fourier-transformasjonen syntiserer eit signalet $x(t)$ i tidsplanet, som ein sum av ulike oscillerande bølgjer (frekvenskomponentar) $X(\omega )$, med ulik frekvens og amplitude, vert ho kalla symteseselikninga.

Samanhengen med Laplace-transformasjonen

Fourier-transformasjonen kan sjåast på som eit spesialtilfelle av den to-sidige Laplace-transformasjonen. Laplace-transformasjonen transformerer eit signal til det komplekse $s$-planet, der $s=\sigma +j\omega$ er ein kompleks frekvensvariabel. I samband med Fourier-transfroma er realdelen $\sigma$ sett til null. slik at ein ender ein opp med den imaginære delen av frekvensvariabelen $j\omega$, som ligg på den imaginære aksen i $s$-planet. At dei ulike Fouirer-komponentane (frekvens-komponentane) ligg på den imaginære aksen betyr at dei er periodiske. Fourier-transformasjonen er med andre ord eit speialtilfelle av Laplace-transformasjonen, som vert nytta når signalet $x(t)$ er periodiskt.

Eigenskapar

Linearitet

Fouriertransformasjonen er ei lineæravbilding:

${\mathcal {F}}\left[af(t)+bg(t)\right]=a{\mathcal {F}}[f(t)]+b{\mathcal {F}}[g(t)]=aF(\omega )+bG(\omega )$

Funksjonsprodukt og folding

For produkt av funksjonar gjeld

${\begin{alignedat}{2}{\mathcal {F}}[f(t)*g(t)]&=F(\omega )G(\omega )\\{\mathcal {F}}[f(t)g(t)]&={\frac {1}{2\pi }}F(\omega )*G(\omega ),\\\end{alignedat}}$

her markerer $*$ ein foldingsoperator (konvolusjon).

Tids- og frekvensforskyving

${\begin{alignedat}{2}{\mathcal {F}}[f(t-T)]&=e^{-i\omega T}F(\omega )\\{\mathcal {F}}[e^{i\Omega t}f(t)]&=F(\omega -\Omega ).\\\end{alignedat}}$

Derivasjon

For deriverte av funksjonar gjeld

${\begin{alignedat}{2}{\mathcal {F}}\left[{\frac {d^{(n)}f(t)}{dt^{(n)}}}\right]&=(i\omega )^{(n)}F(\omega )\\{\mathcal {F}}[(-it)^{n}f(t)]&={\frac {d^{(n)}F(\omega )}{d\omega ^{(n)}}}.\\\end{alignedat}}$