Fraktal

Mandelbrot-mengda er eit kjend døme på ein fraktal.

Ein fraktal er eit geometrisk objekt som er uregelmessig på alle målestokkar, og ser ut til å vere 'oppstykka' på eit radikalt vis. Nokre av dei beste døma kan delast slik at kvar av delane liknar det originale objektet. Fraktalar blir sagt å ha uendelege detaljar, og dei kan faktisk ha ein formlik struktur som finst på ulike forstørringsnivå. I mange tilfelle, kan ein fraktal genererast ved eit gjentakande mønster gjennom ein typisk rekursiv eller iterativ prosess. Omgrepet fraktalt vart først nytta i 1975 av Benoît Mandelbrot, frå det latinske fractus eller «broten». Før Mandelbrot brukte omgrepet, kalla ein slike strukturar (Koch-snøflaket, til dømes) for monsterkurver.

Fraktalar av mange slag vart opphavleg studert som matematiske objekt. Fraktalgeometri er den greina av matematikken som studerer eigenskapane til slike fraktalar. Han skildrar mange situasjonar som ikkje enkelt kan forklarast av klassisk geometri, og dette har ofte vorte nytta i vitskap, teknologi og datagenerert kunst. Dei omgrepsmessige røtene til fraktalar kan sporast tilbake til forsøk på å måle storleiken på objekt der tradisjonelle definisjonar basert på euklidisk geometri eller differensialrekning sviktar.

Historie

Eit Koch-snøflak er unionen av uendeleg mange regionar som har ei trekanta grense. Kvar gong nye trekantar blir lagt til (ein iterasjon), veks trekanten. Han divergerer til uendeleg mange iterasjonar. Lengda av grensa til Koch-snøflaket er uendeleg.

Bidrag frå klassisk analyse

Heile Mandelbrot-mengda

Mandelbrot forstørra seks gonger

Mandelbrot forstørra 100 gonger

Sjølv forstørra 2000 gonger ser ein stadig nye detaljar som liknar heile mengda. Slik kan ein halde fram i det uendelege, og ein vil framleis sjå att dei same formene.

Objekt som no kallast fraktalar vart oppdaga og utforska lenge før omgrepet fraktal vart teke i bruk. I 1872 fann Karl Weierstrass eit døme på ein funksjon med ein ikkje-intuitiv eigenskap som er kontinuerleg overalt, men ingen stader deriverbar - grafen til denne funksjonen ville no bli kalla ein fraktal. Helge von Koch var i 1904 misnøgd med den veldig abstrakte og analytiske definisjonen til Weierstrass, og gav ein meir geometrisk definisjon av ein liknande funksjon, som no blir kalla Koch-snøflaket. Ideen med formlike kurver vart vidareført av Paul Pierre Lévy som, i sin artikkel Plane or Space Curves and Surfaces Consisting of Parts Similar to the Whole i 1938, skildra ei ny fraktalkurve, Lévy C-kurva.

Georg Cantor gav døme på delmengder av den reelle tallinja med uvanlege eigenskapar - desse Cantor-mengdene er òg no kjent som fraktalar. Iterative funksjonar i det komplekse planet hadde vorte undersøkt seint på 1800-talet og i byrjinga av 1900-talet av Henri Poincaré, Felix Klein, Pierre Fatou, og Gaston Julia. Men utan moderne datagrafikk hadde dei ikkje høvet til å visualisere venleiken av objekta dei hadde oppdaga.

Mengdeskildringar

I eit forsøk på å forstå objekt som Cantor-mengder, generaliserte matematikarar som Constatin Carathéodory og Felix Hausdorff det intuitive konseptet dimensjon til å omfatte verdiar som ikkje var heiltal. Dette var del av den generelle rørsla i den første delen av 1900-talet på å skape ein skildrande mengdeteori; det vil seie, eit framhald i retninga av forskinga til Cantor som på ein måte kunne klassifisere mengder av punkt i eit euklidisk rom. Definisjonen av Hausdorff-dimensjonen er geometrisk av natur, sjølv om han teknisk sett er basert på verktøy frå matematisk analyse. Denne retninga vart teken opp av Besicovitch, blant andre; han er annleis i karakter frå dei logiske undersøkingane som prega den skildrande mengdeteorien frå 1920- og 1930-talet. Begge desse felta vart vidare utvikla etterpå, men stort sett av spesialistar.

Mandelbrot

Benoît Mandelbrot byrja på 1960-talet å undersøkja formlike strukturar i artiklar slik som How Long Is the Coast of Britain? Statistical Self-Similarity and Fractional Dimension. Dette bygde på tidlegare arbeid av Lewis Fry Richardson. Ved å bruke ein særs visuell framgangsmåte, såg Mandelbrot sambandet mellom desse tidlegare urelaterte delane av matematikken. I 1975 brukte Mandelbrot ordet fraktal til å skildre formlike objekt som ikkje hadde nokon klår dimensjon. Han tok ordet fraktal frå det latinske fractus, som tyder broten eller irregulær, og ikkje frå ordet fractional, slik som ein kanskje kan tru. Men, fractional i seg sjølv kjem til slutt òg frå fractus.

Så snart ein nytta datavisualisering på fraktalgeometri, presenterte det eit kraftig visuelt argument for at fraktalgeometri kunne knytast til større domene innan matematikk og vitskap enn ein tidlegare hadde trudd, særleg i samanheng med ikkje-lineær dynamikk, kaosteori og kompleksitet. Eit døme er å plotte Newton-metoden som ein fraktal, for å vise korleis grensene mellom ulike løysingar er fraktale, og at løysingane sjølv er såkalla strange attractors. Fraktalgeometri vart òg brukt til datakomprimering og for å modellere komplekse organiske og geologiske system, til dømes veksten av tre eller utviklinga av elvebasseng.

Harrison utvida differnsialrekninga til Newton til å omfatte fraktale domene, inkludert teorema til Gauss, Green og Stokes.

Framstilling av fraktalar

Fraktalar er vanlegvis framstelt på datamaskiner. Det finst mange dataprogram for å framstelle fraktalar, til og med for å generere nye.

• Fractint (multiplatform)
• Sterling Fractal — Avansert fraktalprogram for Microsoft Windows operativsystemer av Stephen Ferguson

Sjå òg

• kaosteori
• kompleksitet
• fraktal kunst
• ikkje-lineær dynamikk

Kjelder

• Denne artikkelen bygger på «Fraktal» frå Wikipedia på bokmål, den 13. november 2011.
  • Wikipedia på bokmål oppgav desse kjeldene:
• Barnsley, Michael F., og Hawley Rising. Fractals Everywhere. Boston: Academic Press Professional, 1993. ISBN 0-12-079061-0
• Falconer, Kenneth. Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications. West Sussex: John Wiley & Sons, Ltd., 2003. ISBN 0-470-84861-8
• Jürgens, Hartmut, Heins-Otto Peitgen, og Dietmar Saupe. Chaos and Fractals: New Frontiers of Science. New York: Springer-Verlag, 1992. ISBN 0-387-97903-4
• Mandelbrot, Benoît B. The Fractal Geometry of Nature. New York: W. H. Freeman and Co., 1982. ISBN 0-7167-1186-9
• Peitgen, Heinz-Otto, og Dietmar Saupe, eds. The Science of Fractal Images. New York: Springer-Verlag, 1988. ISBN 0-387-96608-0

Bakgrunnsstoff

• The Chaos Hypertextbook. Ein introduksjon til kaos og fraktalar.
• Fractals, for lekmann
• Fraktalar, fraktaldimensjon, kaos, planfyllande kurvar
• Fraktaleigenskapar
• Informasjon om fraktalar frå FAQS.org
• Fractovia — authoritative source of fractal generators, as well as a listing of tutorials regarding fractals in general, and specific programs.
• Fraktaldøme
• Fractal Artwork, Spot files for Fractal Explorer
• C82
• Fraktallandskap
• Fraktaldimensjonar
• Fraktalrekning
• Mitchell-Green gravity set
• Fraktaldimensjon
• Flere fraktalkunstgalleri med paramterfiler og program for å gjenskape bileta
• Fractal Zoom-filmar
• Naturlege fraktalar i Grand Canyon
• Galleri og programvare

Online-generatorprogram

• Fraktal-program (treng Java).

Multiplatform-generatorprogram

• Xaos — Realtime generator — Windows, Mac, Linux, etc
• FLAM3 — Avansert iterativt funksjonsystem for alle platformer.
• Fract — En Web-basert fraktal-forstørrar

Linux-generatorprogram

• Gnofract4d — Interaktiv redaktør som kan bruke mange fractint-formlar

Windows-generatorprogram

• Fractovia's listing of fractal generators er ei rimelig komplett liste av gratis fraktalgeneratorar.
• Ultra Fractal — populært dataprogram for Microsoft Windows
• ChaosPro — for Microsoft Windows
• MSPlotter ein flott gratis Windows-basert fraktalgenerator, som bruker fraktalar til å lage bitmap-bilete og AVI-videoklipp.
• Fractal Explorer — gratis Windows-basert generator
• Sterling2 gratis Windows-basert generator

Mac-generatorprogram

• Altivec Fractal Carbon Mac-basert benchmarking-verktøy, som nyttar fraktalar til å fastsette ytinga.

MorphOS-generatorprogram

• Zone Explorer med støtte for eigne formlar