Brahmaguptapolynoom

Een brahmaguptapolynoom van de orde $n$ is elk van de beide polynomen die op de eerste rij staan van de $n$-de macht van de brahmaguptamatrix

$B(x,y,1)={\begin{bmatrix}x&y\\ty&x\end{bmatrix}}$

Schfijft men de $n$-de macht daarvan als:

${\begin{bmatrix}x&y\\ty&x\end{bmatrix}}^{n}={\begin{bmatrix}x_{n}&y_{n}\\ty_{n}&x_{n}\end{bmatrix}}$,

dan zijn $x_{n}$ en $y_{n}$ brahmaguptapolynomen van de orde $n$. Deze polynomen voldoen daarmee aan het paar recurrente betrekkingen:

$x_{n+1}=x\cdot x_{n}+t\cdot y\cdot y_{n}$

$y_{n+1}=x\cdot y_{n}+y\cdot x_{n}$

De eerste polynomen zijn:

$x_{0}=1$

$y_{0}=0$

$x_{1}=x$

$y_{1}=y$

$x_{2}=x^{2}+ty^{2}$

$y_{2}=2xy$

$x_{3}=x^{3}+3txy^{2}$

$y_{3}=3x^{2}y+ty^{3}$

De algemene vorm is:

$x_{n}=\sum _{k=0,k\,even}^{n}{\tbinom {n}{k}}t^{k/2}x^{n-k}y^{k}$

$y_{n}=\sum _{k=1,k\,oneven}^{n}{\tbinom {n}{k}}t^{(k-1)/2}x^{n-k}y^{k}$

De brahmaguptapolynomen voldoen ook aan de volgende betrekking tussen de partiële afgeleiden:

${\frac {\partial x_{n}}{\partial x}}={\frac {\partial y_{n}}{\partial y}}=nx_{n-1}$

${\frac {\partial x_{n}}{\partial y}}=t{\frac {\partial y_{n}}{\partial x}}=nty_{n-1}$

Relatie met pellgetallen

Voor $x=y=1,t=2$ is de brahmaguptapolynoom $y_{n}=P_{n}$, het $n$-de pellgetal, en $2x_{n}=Q_{n}$, het $n$-de pellgetal van de tweede soort.