Joshua Eijgenraam speelde in de jeugd van SV TOGB en Excelsior. In 2014 belandde hij bij Excelsior, waar hij in eerste instantie meedeed bij het elftal onder 21. Hij debuteerde in het eerste elftal van Excelsior in de Eerste divisie op 20 november 2020, in de met 4-1 gewonnen thuiswedstrijd tegen Jong AZ. Hij kwam in de 90+1e minuut in het veld voor Julian Baas, tegelijkertijd met Jaimy Buter, die ook debuteerde.[3] Hoewel het dat seizoen bleef bij één invalbeurt, was hij een seizoen later basisspeler. Hij had op 6 augustus 2021 zijn eerste basisplaats in de seizoensopener tegen TOP Oss (1-0 nederlaag). Hij kwam dat seizoen in 32 van de 38 competitiewedstrijden in actie en deed mee in de play-offs om promotie. Hij speelde alle zes wedstrijden, waaronder de finale tegen ADO Den Haag die na penalty's gewonnen werd door Excelsior. Hij maakte op 6 augustus 2022 zijn Eredivisiedebuut en won met 2-0 van SC Cambuur. De 20-jarige middenvelder zet zijn handtekening onder een nieuwe overeenkomst tot en met medio 2025.