In de zomer van 2000 tekende hij een contract bij NAC, waar hij al snel uitgroeide tot een van de betere keepers van de eredivisie. Toen in de zomer van 2004 zijn contact bij NAC afliep, tekende hij bij Feyenoord. Sinds de zomer van 2005 speelt hij voor N.E.C., waarvan het eerste seizoen op huurbasis. Met ingang van het seizoen 2009-2010 is de Hongaar tevens aanvoerder van de club uit Nijmegen.
In het seizoen 2010/11 kwam Babos de gehele competitie door een rugblessure maar tot slechts drie wedstrijden. Toen hij hersteld was, had Jasper Cillessen zijn plaats onder de lat overgenomen. Op 27 augustus 2011 maakt hij zijn rentree bij NEC, na de transfer van Cillessen voor 3,2 miljoen naar Ajax. NEC won de wedstrijd met 2-1 van Heracles. Op 22 januari 2012 keepte Babos zijn vijfhonderdste wedstrijd, Deze Gelderse derby tegen Vitesse werd door NEC gewonnen met 0-1.
Op 21 maart 2013 werd bekend dat hij na 9 jaar terugkeert bij NAC Breda. Daar liep zijn contract af in de zomer van 2015. Nadat een overgang naar RKSV Halsteren niet doorging, beëindigde Babos zijn loopbaan.
Babos was daarna actief als keeperstrainer in de jeugdopleiding van NAC. Daarnaast was hij vanaf medio november 2015 hoofdtrainer van amateurclub RKSV BSC uit Roosendaal (zondag derde klasse). Op 19 maart 2018 legde hij beide functies neer om keeperstrainer te worden van het eerste elftal van N.E.C. als tijdelijke vervanger van Wilfried Brookhuis die getroffen was door een hersenbloeding. Ook in het seizoen 2018/19 en 19/20 fungeert Babos als keeperstrainer bij N.E.C. In mei 2020 stapt hij over naar NAC Breda.
Babos heeft 27 interlands voor Hongarije op zijn naam staan. Hij maakte zijn debuut voor de nationale ploeg op 19 maart1997 in de vriendschappelijke interland tegen Malta, die met 4-1 werd gewonnen dankzij doelpunten van Flórián Urbán, Gábor Halmai, Ferenc Orosz en Attila Plókai. Babos werd in dat duel na zeventig minuten vervangen door Szabolcs Sáfár.
Hongarije
NAC Breda