Deikstras algoritms

Deikstras algoritms

Deikstras algoritma darbība
Klase	Meklēšanas algoritms
Datu struktūra	Grafs
Sliktākā ātrdarbība	$O(|E|+|V|\log |V|)$

Deikstras algoritms ir grafu meklēšanas algoritms, kurš risina viena izejas stāvokļa īsākā ceļa problēmu grafiem ar nenegatīviem šķautņu svariem, izveidojot īsākā ceļa koku. To 1956. gadā radīja un 1959. gadā publicēja nīderlandiešu datorzinātnieks Edsgers Deikstra. Šo algoritmu bieži izmanto maršrutēšanā un kā apakšprocedūru citiem grafu algoritmiem.

Algoritms dotajai grafa virsotnei (mezglam) atrod ceļu ar viszemākajām izmaksām (t.i. īsāko ceļu) starp šo un katru citu virsotni. To var izmantot arī, lai atrastu izmaksas īsākajam ceļam no vienas virsotnes līdz citai virsotnei, apturot algoritmu, tiklīdz šis īsākais ceļš ir noteikts. Piemēram, ja grafa virsotnes attēlo pilsētas un šķautņu ceļa izmaksas attēlo nobraucamo attālumu starp pilsētām pa savienojošu ceļu, Deikstras algoritmu var izmantot, lai atrastu īsāko ceļu starp vienu pilsētu un visām citām parējām. Tā rezultātā īsākā ceļa atrašanu plaši izmanto tīkla maršrutēšanas protokolos, zināmākie no tiem IS-IS un OSPF (Open Shortest Path First).

Deikstras sākotnējais algoritms neizmanto minimālo prioritāšu rindu un darbojas ar novērtējumu O(|V|²). Biežākā realizācija izmanto minimālo prioritāšu rindu, ko realizē ar Fibonači kaudzi un tā darbojas ar novērtējumu O(|E| + |V| log |V|). Tas ir asimptotiski ātrākais zināmais vienas izejas īsākā ceļa meklēšanas algoritms patvaļīgiem grafiem ar nenegatīviem šķautņu svariem.

Algoritms

Deikstras algoritma ilustrācija, meklējot ceļu no sākuma uz beigu virsotni robota kustību plānošanas problēmā. Tukšās virsotnes apzīmē iespējamo gājienu kopu. Aizpildītās virsotnes ir apmeklētās; ar krāsu tiek apzīmēts attālums — jo zaļāks, jo tālāk. Virsotnes dažādos virzienos tiek apmeklētas vienādi, radot vairāk vai mazāk apaļu viļņa fronti, jo Deikstras algoritms izmanto heiristiku, kuras vērtība ir vienāda ar 0.

Par attālumu no mezgla Y sauksim attālumu no sākuma mezgla līdz Y. Deikstras algoritms piešķirs dažas sākotnējās attāluma vērības un mēģinās tās soli pa solim uzlabot.

1. Piešķir katrai virsotnei iespējamo attāluma vērtību: sākuma virsotnei nulli, bet visām pārējām bezgalību.
2. Atzīmē visas virsotnes, izņemot sākuma virsotni mezglu kā neapmeklētus. Uzstāda sākuma virsotni kā aktuālo. Izveido kopu ar neapmeklētajām virsotnēm, kura satur visas virsotnes, izņemot sākuma virsotni.
3. Aktuālajai virsotnei apskata visus neapmeklētos kaimiņus un aprēķina to iespējamos attālumus. Piemēram, ja aktuālā virsotne A ir apzīmēta ar attālumu 6 un šķautne, kas to savieno ar kaimiņu B ir garumā 2, tad attālums līdz B (caur A) būs 6+2=8. Ja šis attālums ir mazāks kā iepriekš pierakstītais attālums, tad pārraksta šo attālumu. Lai arī kaimiņš ir apmeklēts, tas šobrīd netiek apzīmēts kā apmeklēts un paliek neapmeklēto kopā.
4. Kad ir novērtēti visi aktuālās virsotnes kaimiņi, atzīmē aktuālo virsotni kā apmeklētu un izņem to no neapmeklēto kopas. Apmeklēta virsotne pēc tam vairs nekad netiks pārbaudīta; tās pierakstītais attālums ir galīgs un minimāls.
5. Nākamā aktuālā virsotne būs virsotne, kura ir apzīmēta ar vismazāko (iespējamo) attālumu no neapmeklēto kopas.
6. Ja neapmeklēto kopa ir tukša, apstājās. Algoritms ir beidzis darbību. Citā gadījumā uzstāda par aktuālo virsotni no neapmeklēto kopas ar vismazāko iespējamo attālumu un atgriežas pie 3. soļa.