Darbu sumos

Darbu (Darboux) sumos – dvi sąvokos naudojamos apibrėžiant Rymano integralą. Šiomis sumomis apibrėžiamas ir Darbu integralas, kurio apibrėžimas lengvai išplečiamas iki Rymano-Stieltjeso integralo. Sąvokas pirmą kartą panaudojo Žanas Gastonas Darbu.

Apatinė Darbu suma

Geometrinė apatinės Darbu sumos interpretacija.

Tegul funkcija $f(x)$ apibrėžta intervale $[a;b]$. Suskaidome šį intervalą tokiu būdu:

$a=x_{0}<x_{1}<\dots <x_{n-1}<x_{n}=b$

Gautų intervalų ilgius žymėsime $\delta x_{i}=x_{i}-x_{i-1}$ . Jų iš viso yra $n$. Ilgiausio gabaliuko ilgį žymėsime $\Delta$.

Tokį intervalo skaidinį vadinsime $T$. Apibrėžiame tokius taškus:

$m_{i}=\inf _{[x_{i-1};x_{i}]}f(x)$

T.y. kiekviename intervalo skaidinio gabaliuke surandame mažiausią funkcijos reikšmę. Sudarome tokią sumą:

$s(T)=\sum _{i=1}^{n}m_{i}\Delta x_{i}$.

Šią sumą ir vadinsime apatine Darbu suma, ji yra intervalo skaidinio $T$ funkcija, t. y. ji priklauso nuo to, kokiu būdu skaidome intervalą $[a;b]$. Geometrinė apatinės Darbu sumos prasmė yra stačiakampių, besiremiančių į kreivinę trapeciją iš apačios, plotų suma. Šių stačiakampių pločiai priklauso nuo to, kaip skaidome intervalą, t. y. nuo $T$.

Viršutinė Darbu suma

Geometrinė viršutinės Darbu sumos interpretacija.

Viršutinę Darbu sumą apibrėžiame labai panašiai. Intervalą $[a;b]$ skaidome tokiu pat būtų ir pasirenkame tokius taškus:

$M_{i}=\sup _{[x_{i-1};x_{i}]}f(x)$

T.y. didžiausias funkcijos reikšmes kiekviename intervalo gabaliuke. Analogiškai sudarome sumą:

$S(T)=\sum _{mn=1}^{n}M_{i}\Delta x_{i}$.

Ši suma irgi priklauso nuo intervalo skaidymo būdo $T$. Geometriškai ji yra kreivinę trapeciją iš viršaus ribojančių stačiakampių plotų suma.

Darbu sumų savybės

Abi Darbu sumos pasižymi tokiomis savybėmis:

• $S(T_{1})\geq s(T_{2})\;\forall T_{1},T_{2}$, t. y., kad ir kaip beskaidytume intervalą, viršutinė suma visada bus ne mažesnė už apatinę.
• Pridėjus naujus skaidymo taškus prie esamo skaidinio, apatinė Darbu suma gali tik padidėti, o viršutinė – tik sumažėti.

Šios savybės yra akivaizdžios geometriškai.

Apibrėžiami ir tokie dydžiai:

${\underline {I}}=\sup _{T}s(T)$ – didžiausia įmanoma apatinė Darbu suma.

${\overline {I}}=\inf _{T}S(T)$ – mažiausia įmanoma viršutinė Darbu suma.

Šie dydžiai pasižymi tokiomis savybėmis:

• ${\underline {I}}\leq {\overline {I}}$
• $\lim _{\Delta \rightarrow 0}s(T)={\underline {I}}$ ir $\lim _{\Delta \rightarrow 0}S(T)={\overline {I}}$, t. y. gabaliukų ilgiams be galo mažėjant, atitinkamos sumos pasiekia savo mažiausią ir didžiausią įmanomas vertes.

Paskutinė savybė dar vadinama Darbu lema.