위상환

수학에서 위상환(位相環, 영어: topological ring)은 환의 구조가 주어진 위상 공간이다.

정의

위상환 $R$은 위상 공간과 환의 구조가 둘 다 주어져, 환의 대수적 연산들이 연속 함수인 경우다. 즉, 다음 연산들이 연속 함수여야 한다.

• 덧셈 $+\colon R\times R\to R$
• 덧셈의 역 $-\colon R\to R$
• 곱셈 $\cdot \colon R\times R\to R$

따라서, 위상환은 아벨 위상군을 이룬다.

위상체(位相體, 영어: topological field)는 위상 공간과 체의 구조가 둘 다 주어져, 체의 대수적 연산들이 연속 함수인 경우다. 즉, 다음 연산들이 연속 함수여야 한다.

• 덧셈 $+\colon R\times R\to R$
• 덧셈의 역 $-\colon R\to R$
• 곱셈 $\cdot \colon R\times R\to R$
• 곱셈의 역 $^{-1}\colon R\setminus \{0\}\to R$

위상체는 위상환의 특별한 경우다.

분류

국소 콤팩트 위상체

모든 비이산 하우스도르프 국소 콤팩트 위상체 $L$은 다음 체들 가운데 하나의 유한 확대이다.

• $K=\mathbb {R}$. 즉, $L=\mathbb {R}$이거나 $L=\mathbb {C}$이다.
• $K=\mathbb {Q} _{p}$ (p진수체)
• $K=\mathbb {F} _{p}((t))$ ($\mathbb {F} _{p}$의 형식적 로랑 급수체)

같이 보기

• 위상 벡터 공간

외부 링크

• “Topological ring”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Topological field”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Topological ring”. 《nLab》 (영어). 
• “Topological field”. 《nLab》 (영어).