전순서 집합

순서론에서, 전순서(全順序, 영어: total order)는 임의의 두 원소를 비교할 수 있는 부분 순서이다.

정의

집합 $X$ 위의 원전순서(元全順序, 영어: pretotal order, total preorder, weak order)는 다음 조건을 만족시키는 원순서 $\lesssim$이다.

• 임의의 $x,y\in X$에 대하여, $x\lesssim y$이거나 $y\lesssim x$이다.

즉, 두 원소가 항상 비교 가능한 원순서이다.

집합 $X$ 위의 전순서는 부분 순서인 원전순서이다. 즉, 다음 성질들을 만족시키는 이항 관계 $\leq$이다.

• (추이성) 만약 $x\leq y\leq z$라면 $x\leq z$
• (반대칭성) 임의의 $x,y\in X$에 대하여, 만약 $x\leq y$이며 $y\leq x$라면 $x=y$
• (완전성) 항상 $x\leq y$이거나 $y\leq x$

원전순서가 주어진 집합을 원전순서 집합(原全順序集合, 영어: pretotally ordered set)이라고 한다. 전순서가 주어진 집합을 전순서 집합(全順序集合, 영어: totally ordered set, toset)이라고 한다.

성질

함의 관계

다음과 같은 함의 관계가 성립한다.

전순서 집합	⇒	원전순서 집합
⇓		⇓
부분 순서 집합	⇒	원순서 집합

위상수학적 성질

어떤 전순서 집합 $(X,\leq )$에 대하여, 다음 두 조건이 동치이다.

• $X$는 유리수의 전순서 집합과 순서 동형이다.
• $X$는 다음 세 조건들을 만족시킨다.
  • $X$는 가산 집합이다.
  • $\leq$는 조밀 순서이다.
  • $X$는 최대 원소 및 최소 원소를 갖지 않는다.

어떤 전순서 집합 $(X,\leq )$에 대하여, 다음 두 조건이 동치이다.

• $X$는 실수의 전순서 집합 $(\mathbb {R} ,\leq )$과 순서 동형이다.
• $X$는 다음 세 조건들을 만족시킨다.
  • $\leq$는 조밀 순서이다.
  • (완비성) 임의의 유계 집합은 상한과 하한을 갖는다.
  • $X$에 순서 위상을 가하면, $X$는 분해 가능 공간이다.

마지막 조건을 약화시키면 수슬린 가설을 얻는데, 이는 선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론과 독립적인 명제이다.

전순서 집합에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• 선형 연속체이다.
• 순서 위상을 가했을 때, 연결 공간이다.

예

모든 순서체는 전순서 집합이다. 예를 들어, 실수체 $\mathbb {R}$, 유리수체 $\mathbb {Q}$ 등은 표준적인 순서를 부여하면 전순서 집합을 이룬다. 정수환 $\mathbb {Z}$나 자연수의 모노이드 $\mathbb {N}$ 역시 전순서 집합이다. 이들 집합 가운데, 자연수의 집합을 제외한 나머지는 정렬 집합이 아니다.

유한 집합 위의 (원)전순서

크기 3의 집합 $\{a,b,c\}$ 위에 존재할 수 있는 13개의 원전순서. 여기서 $a<b$는 $a\lesssim b\not \lesssim a$를 뜻한다. 이 가운데 맨 밖의, 검은 색 글씨의 6개는 전순서이다. 중간의, 푸른 색 글씨의 6개는 2개의 동치류들을 갖는 원전순서이다. 가운데의, 붉은 색 글씨의 1개는 1개의 동치류를 갖는 비이산 원순서이다.

크기 $n$의 유한 집합 위의 원전순서들의 수는 푸비니 수(영어: Fubini number) $F_{n}$이라고 한다. 크기 $n$의 유한 집합 위의 전순서들의 수는 계승 $n!$이다. 이들의 값은 다음과 같다. ((OEIS의 수열 A670), (OEIS의 수열 A142)).

$n$	0	1	2	3	4	5	6	7
$F_{n}$	1	1	3	13	75	541	4683	47293
$n!$	1	1	2	6	24	120	720	5040

바깥 고리

• “Totally ordered set”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Total order”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Totally ordered set”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.