1차 논리: 두 판 사이의 차이

'''1차 논리'''(一次論理, {{llang|en|first-order logic}})는 원소에만 한정 기호를 가할 수 있고, 술어에는 한정 기호를 가할 수 없는 [[술어 논리]]이다.<ref>{{서적 인용|이름=Wilfrid |성=Hodges|날짜=2001-08|장=Classical logic I: first order logic|editor-first=Lou|editor-last=Goble|제목=The Blackwell Guide to Philosophical Logic|출판사=Blackwell|isbn=978-0-631-20693-4|zbl=1003.03010|언어=en}}</ref> [[명제 논리]]와 달리 변수에 대하여 한정 기호를 사용할 수 있으나, [[2차 논리]]와 달리 변수들의 집합에 대하여 한정 기호를 사용할 수 없다. 1차 논리의 경우, ([[2차 논리]]와 달리) [[괴델의 완전성 정리]] · [[콤팩트성 정리]] · [[뢰벤하임-스콜렘 정리]]와 같은 중요한 성질들이 성립한다.

* 특정 문자열들의 집합을 '''[[논리식]]'''의 집합라고집합이라고 한다. 논리식이 만족시켜아만족시켜야 하는 문법은 재귀적으로 정의된다.

* 1차 논리 언어의 '''의미론'''이란, 그 언어의 문장들에 대하여 참인지 여부를 일관적으로 부여하는 구조이다. 이는 보통 [[모형 (논리학)|모형]]으로 주어진다.

* [[명제 논리]]의 연산 ([[논리합]] <math>\landimplies</math>, ([[논리곱함의]]) 및 <math>\lorlnot</math>, ([[부정]] <math>\lnot</math> 등).

* '''전칭 기호'''(全稱記號, {{llang|en|universal quantifier}}) <math>\forall</math>와 '''존재 기호'''({{llang|en|existential quantifier}}) <math>\exists</math>.

** 그 대신 '''존재 기호'''(存在記號, {{llang|en|existential quantifier}}) <math>\exists</math>를 사용할 수도 있다. 사실, 임의의 변수 <math>x</math>에 대하여 <math>\forall x\phi\iff \lnot\exists x\lnot\phi</math>이며 <math>\exists x\phi\iff \lnot\forall x\lnot\phi</math>이므로, 둘이들은 가운데서로 하나만을 사용할 수 있다동치이다.

1차 논리의 '''항'''(項, {{llang|en|term}})은 다음 문법을 따른다.

* <math>n</math>항 연산임의의 <math>i\mathsfin fI</math>와 <math>nm_i</math>개의 항 <math>t_1,t_2,\dots,t_nt_{m_i}</math>에 대하여, <math>\mathsf ff_i(t_1,t_2,\dots,t_nt_{m_i})</math>은 항이다. (상수의 경우, 즉 <math>nm_i=0</math>일 때, 보통 괄호 <math>\mathsf ff_i()</math>를 생략하여 <math>\mathsf ff_i</math>로 쓴다.)

* <math>n</math>항 관계임의의 <math>j\mathsfin RJ</math> 및와 <math>nn_j</math>개의 항 <math>t_1,\dots,t_nt_{n_j}</math>에 대하여, <math>\mathsf RR_j(t_1,\dots,t_nt_{n_j})</math>은 논리식이다.

* 논리식 <math>\phi</math>와 <math>\chi</math>에 대하여, <math>\lnot\phi</math>와 <matH>\phi\land\chi</math> 및 <math>\phi\lorimplies\chi</math>는 논리식이다.

* 논리식 <math>\phi</math>에 등장하는 변수 <math>x_i</math>가 자유 변수라면, <math>\forall x\phi</math> 및 <math>\exists x\phi</math>는 논리식이다.

여기서 논리식 <math>\phi</math> 및 그 속에 등장하는 변수 <math>x_ix</math>에 대하여, 만약 <math>\phi</math>가 <math>\forall x_i</math>나 <math>\exists x_ix</math>를 포함하지 않는다면, <math>x_ix</math>를 <math>\phi</math>의 '''자유 변수'''({{llang|en|free variable}})라고 하며, 그렇지 않다면 <math>x_ix</math>를 <math>\phi</math>의 '''종속 변수'''({{llang|en|bound variable}})라고 한다.

1차 논리의 [[증명 이론은이론]]은 다양한 방식으로 공리화할 수 있다. 예를 들어 [[다비트 힐베르트]]의 [[힐베르트 체계]]({{llang|en|Hilbert system}})나, [[게르하르트 겐첸]]의 [[시퀀트 계산법계산]]({{llang|en|sequent calculus}})이나 [[자연 언역연역]]({{llang|en|natural deduction}}) 등을 사용할 수 있다.

:㈁㈂ <math>\phi \implies \left( \chi \implies \phi \right) </math>

:㈂㈃ <math>\left( \phi \implies \left( \chi \implies \psi \right) \right) \implies \left( \left( \phi \implies \chi \right) \implies \left( \phi \implies \psi \right) \right)</math>

:㈃㈄ <math>\left ( \lnot \phi \implies \lnot \chi \right) \implies \left( \chi\implies \phi \right) </math>

:㈄㈅ <math> \forall x\phi\implies\phi[t/x]</math>

위 공리 기본꼴들에서, <math>\phi[t/x]</math>는 [[논리식]] <math>\phi</math>에 등장하는 자유 변수 <math>x</math>를 항 <math>t</math>로 대체하여 얻는 [[논리식]]을 뜻한다. 예를 들어, [[체 (수학)|체]]의 언어에서

1차 논리의 의미론은 보통 [[모형 (논리학)|모형]]으로 주어진다. 주어진 연산 집합 <math>\mathcal FI</math>와 관계 집합 <math>\mathcal RJ</math>을 갖는 1차 논리 언어 <math>\mathcal L_{\mathcal FI,\mathcal RJ}</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 이 언어의 '''[[모형 (논리학)|모형]]'''은 집합 <math>X</math> 및 각 <math>n</math>항 연산 <math>\mathsf fi\in\mathcal FI</math>에 대하여 <math>\mathsf ff_i</math>의 '''해석''' <math>\mathsf ff_i^X\colon X^n\to X</math> 및 각 <math>nn_j</math>항 관계 <math>\mathsf R\in\mathcal RR_j</math>에 대하여 <math>\mathsf R</math>의그 '''해석''' <math>\mathsf RR_j^X\in\mathcal P(X^n{n_j})</math>으로 구성된다. 이를 통해, <math>\mathcal L_{\mathcal FI,\mathcal RJ}</math>의 문장 <math>\phi</math>와 <math>\mathcal L_{\mathcal FI,\mathcal RJ}</math>의 모형 <math>M</math>에 대하여, <math>\phi</math>가 <math>M</math>에서 참인지 또는 거짓인지 여부를 정의할 수 있다. <math>\phi</math>가 <math>M</math>에서 참이라는 것은

보다 일반적으로, <math>\mathcal L_{\mathcal FI,\mathcal RJ}</math>의 논리식 <math>\phi</math>가 자유 변수 <math>x_1,\dots,x_k</math>를 갖는다고 하자. 그렇다면, <math>\mathcal L_{\mathcal FI,\mathcal RJ}</math>의 모형 <math>M</math> 및 그 속의 <math>k</math>개의 원소

비논리 기호를 포함하지 않는 1차 논리 문장들의 집합을 <math>\mathcal L_=^0</math>라고 하자. 그 가운데, 모든 [[모형 (논리학)|모형]]에서 참인 문장들의 부분 집합

:<math>\mathcal T=\{\phi\in\mathcal L_=^0\colon\forall M\in\operatorname{Model}(\mathcal L_=)\colon M\models\phi\}</math>

을 생각하자. 또한, <math>\mathcal L_=^0</math> 속에서, 위의 힐베르트 체계를 통해 증명할 수 있는 문장들의 집합을

:<math>\mathcal T'=\{\phi\in\mathcal L_=^0\colon\vdash\phi\}</math>

* 1차 논리의 [[건전성 정리]]에 따르면, <math>\mathcal T=\mathcal T'</math>이다. 즉, 명제가 증명 가능한지 여부는 명제가 참인지 여부와 동치이다.

보다 일반적으로, 임의의 [[가산 집합|가산]] 연산 집합 <math>\mathcalI</math>와 F=\{\mathsf관계 F_0,\mathsf집합 F_1,\mathsf F_2,\dots\}<math>J</math>과를 관계갖는 집합1차 논리 언어 <math>\mathcal R=\L_{\mathsf R_0I,\mathsf R_1,\mathsf R_2,\dots\J}</math>를 갖는 1차 논리 언어의속에서, 문장들의 집합을 <math>\mathcal L_{I,J}^0\mathcal F,subseteq\mathcal RL_{I,J}</math>라고 하자. 그 가운데, 모든 [[모형 (논리학)|모형]]에서 참인 문장들의 부분 집합

:<math>\mathcal T=\{\phi\in\mathcal L_L^0_{\mathcal FI,\mathcal RJ}\colon\forall M\in\operatorname{Model}(\mathcal L_{\mathcal FI,\mathcal RJ})\colon M\models\phi\}</math>

* 만약 <math>\mathcal FI=\varnothing</math>이며, <math>\mathcal RJ</math>의 모든 관계가 술어(1항 관계) 또는 등호라면, <math>\mathcal T</math>는 [[재귀 집합]]이다. 이러한 언어를 '''1항 1차 언어'''({{llang|en|monadic first-order language}})라고 한다.

:<math>\mathcal FI=\{+,\cdot,-,0,1\}</math>

:<math>\operatorname{arity}(m_+)=\operatorname{arity}(m_\cdot)=2</math>

:<math>\operatorname{arity}(m_-)=1</math>

:<math>\operatorname{arity}(0)m_0=\operatorname{arity}(1)m_1=0</math>

:<math>\mathcal RJ=\varnothing</math>

는 두 개의 [[이항 연산]]과 하나의 1항 연산 및 두 개의 상수(0항 연산)을 포함하며, 등호 밖의 관계를 갖지 않는다. 보통

:<math>\mathcal FI=\{+,\cdot,-,0,1\}</math>

:<math>\operatorname{arity}(m_+)=\operatorname{arity}(m_\cdot)=2</math>

:<math>\operatorname{arity}(m_-)=1</math>

:<math>\operatorname{arity}(0)m_0=\operatorname{arity}(1)m_1=0</math>

:<math>\mathcal RJ=\{\le\}</math>

[[고틀로프 프레게]]가 1879년에 출판된 《개념 표기법》<ref>{{서적 인용|제목=Begriffsschrift, eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache des reinen Denkens|이름=Gottlob|성=Frege|저자고리저자링크=고틀로프 프레게|날짜=1879|위치=[[할레]]|출판사=Verlag von Louis Nebert|url=http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k65658c|언어=de}}</ref>에서 사용한 논리는 (현대적 용어로는) [[2차 논리]]였다.<ref name="Putnam"/>{{rp|295}}<ref name="Moore"/>{{rp|101–102}} 이후 1885년에 [[찰스 샌더스 퍼스]]가는 1차 논리와 2차 논리를 구분하였으며,구분하였다.<ref>{{저널 "1차인용|날짜=1885-01|이름=Charles 논리"라는Sanders|성=Peirce|저자링크=찰스 용어를샌더스 도입하였다퍼스|제목=On the algebra of logic: a contribution to the philosophy of notation|저널=American Journal of Mathematics|권=7|호=2|쪽=180–202|doi=10.2307/2369451|jstor=2369451|issn=0002-9327|jfm= 17.0044.02|언어=en}}</ref><ref name="Putnam">{{저널 인용

| 성= Putnam |이름= Hilary |저자고리저자링크=힐러리 퍼트넘

== 참고같이 문헌보기 ==

== 바깥외부 고리링크 ==

[[분류:논리학술어 논리]]