LU分解

正方行列 A を下三角行列 L と上三角行列 U の積に分解する数学的操作

数学における行列のLU分解(エルユーぶんかい、: LU decomposition)とは、正方行列 A下三角行列 L上三角行列 U の積に分解すること。すなわち A = LU が成立するような LU を求めることをいう。正方行列 A のLU分解が存在する必要十分条件はすべての首座小行列式が 0 でないことである。また L の対角成分をすべて 1 とすれば分解はただ一通りに定まる。文献によってはLR分解とも呼ばれる(それはAを左三角(left triangular)と右三角(right triangular)の行列の積に分解するということにちなむ)。

LU分解の手法

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以下、n正方行列の場合で説明する。基本的にはA = LU の各成分について書き下した n2 個の式を解くことにより、行列 L , U を求めるのだが、このままでは未知の係数の個数(n (n + 1) 個)が式の個数(n2個)より多いので解けない。これを解くための解法には ドゥーリトル法クラウト法 の2つがある。

  • ドゥーリトル法では、行列 L の対角成分の全てを 1 とおき、(1, 1) 成分 , (2, 1) 成分 , (3, 1) 成分 , ... , (1, 2) 成分, (2, 2) 成分, ... の順に n2 個の式を解く。
  • クラウト法では、行列 U の対角成分の全てを 1 とおき、(1, 1) 成分 , (1, 2) 成分 , (1, 3) 成分 , ... , (2, 1) 成分, (2, 2) 成分, ... の順に n2 個の式を解く。

ドゥーリトル法による2次行列のLU分解を行う。与えられた正方行列A の成分をaij とする。

  1. 下三角行列 L の対角成分を全て 1 とおき、残りの成分、(1, 2)を0、(2, 1)を変数l21 とおく。
     
  2. 上三角行列 U の対角成分と対角成分より上の成分を変数におく。
     
  3. A=LU の両辺を係数比較する。
     
  4. 上式を上から順に解くことでL , U が求められる。
     

応用

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連立1次方程式

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連立1次方程式

 

の解き方に、行列 A を LU分解する方法がある。L , U は下三角行列、上三角行列であるため、逆行列を求めることなく計算することが可能である。このため、同じA に対しb だけを変えていくつも連立方程式を解く場合、LU分解は有用である[1]

与えられた方程式

 

に対し、変数y

 

とおき、これを上式に代入する。

 

から変数y を求める[注釈 1]。求めた解yUx = y の右辺に代入し、解 x を求めることができる[注釈 2]

Ly = bガウスの消去法の前進消去、Ux = yは後退代入に対応する。

逆行列

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行列 A を LU 分解すると、

 

により逆行列A-1 を求められる。

また、

 
ei単位行列I の第i 列)

の解xi を並べた行列 AX = I を満たすので、このようにしても逆行列A-1 を求めることができる。

行列式

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行列 A を LU 分解できれば、その行列式は簡単に求めることができる。なぜならば、行列 L および U は三角行列であることから、それらの行列式 |L | , |U | は対角成分の積で表され、|A | は、

 

と計算できるからである。

変種

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LDU 分解
下三角行列 L対角行列 D と上三角行列 U の積に分解する。
 
LUP 分解
下三角行列 L と上三角行列 U置換行列 P の積に分解する。
 

脚注

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注釈

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  1. ^ 左辺Ly を計算し、左辺と右辺を係数比較すれば、y が求まる。
  2. ^ 左辺Uxを計算し、左辺と右辺を係数比較すれば、x が求まる。

出典

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  1. ^ Joel H. Ferziger; Milovan Perić 著、小林敏雄、谷口伸行、坪倉誠 訳『コンピュータによる流体力学』シュプリンガー・フェアラーク東京、2003年、90頁。ISBN 4-431-70842-1 

関連項目

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