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利用者:Natsuji Kohei/メモ

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反論は上位3つの方法で


問題 6の約数は1, 2, 3, 6の4個で、その内、偶数は2個ある。 これを<6, 4, 2>と表し、6=<6, 4, 2>と等式で表せるものとする。 同様に、自然数Nの約数はa1, a2, ..., aαのα個で、その内、偶数はβ個ある。 これを<N, α, β>と表し、N=<N, α, β>と等式で表せるものとした時、 次の問いに答えよ。

(1) 36527=<N, α, β>である。N、α、βの和を答えよ。

(2) 1024=<1024, 11, 10>であった。N=<N, 13, 12>が成り立つ時、Nの値を求めよ。

(3) (1)、(2)から分かるN=<N, α, β>の関係を書け。なお、解答にあたっては、36257という数の分類上の名称と、1024と(2)のNの値の数に共通する分類上の名称を明らかにして、書け。

解答 (1)36529 (2)N=4096 (3)Nの値が素数pである時、すなわちN=pである時は、N=<N, 2, 0>が必ず成り立ち、Nの値がある自然数n(ただし、n>2)の平方数である時、すなわちN=n^2である時は、N=<N, α, β>のαの値は必ず奇数、βの値はnの値が奇数の場合は必ず0、nの値が偶数の場合は必ず偶数になる。さらに、nを偶数回かけたもののβの値は、必ずα-1になるという関係がある。

解説 Point:問題の数を素因数分解して、その数の性質を確認する。約数と素因数分解の関係に着目する。 (1) 36527を素因数分解すると1×36527となり、1とその数しか約数がないので素数である。素数は、約数が2つのみの数であるからα=2、素数は奇数なので、約数に偶数はないのでβ=0となり、N＋α＋β=36527＋2＋0=36579 (2) 1024を素因数分解すると2^10となった、ここで、2^10を変形すると、32^2となる。つまり1024は32の平方数であると分かる。ここで、平方数の性質について理解するために、さまざまな平方数の<N, α, β>を調べると、 9=<9, 3, 0> 16=<16, 5, 4> 25=<16, 5, 4> と分かり、平方数のαの値、すなわち約数の数は必ず奇数になることが分かる。ここで問題文を見ると、αの値が奇数なので、Nが平方数であるという推測が出来る。また、βの値が1以上なので、Nは偶数である。そして、約数が1024よりも大きい事から、Nも1024より大きいのではないかと推測できる。以上から、1024より大きい偶数の平方数を調べていくと、 34^2=1156=<1156, 9, 6> 36^2=1296=<1296, 25, 20> となり、なかなか問題に適さない。しかし、以上の数を素因数分解すると 34^2=1156=2^2×17^2 36^2=1296=2^2×14^2 となり、1024のような素因数分解すると2^10となるような同じ数を偶数回かけたものではない。ここで、(3)の内容、「1024と(2)のNの値の数に共通する」とある事から、Nの値もある数を複数回かけたものではないかと推測できる。試しに2を偶数回かけ、その<N, α, β>を調べると 2^12=4096=<4096, 12, 13> 2^14=16384=<16384, 15, 14> となり、4098が問題に適する。よってN=4098

(3) (1)を求める過程で発見した、素数には約数が2つのみで素数には偶数の約数はないという事などと、(2)を求める過程で発見した平方数の約数は条件を満たせば必ず奇数になるという事などを文章にまとめればよい。

2 1 2 (2 2 1) 4 1 2 4 (4 3 2) 9 1 3 9 (9 3 0) 16 1 2 4 8 16 (16 5 4) 25 1 5 25 (25 3 0) 36 1 2 3 4 6 9 12 18 36 (36 9 6) 49 1 7 49 (49 3 0) 64 1 2 4 8 16 32 64 (64 7 6) 81 1 3 9 27 81 (81 5 0) 100 1 2 4 5 10 20 25 50 100 (100 9 6)


問題

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