ここではマクスウェルの方程式から電磁波の波動方程式を導く。
通常、マクスウェルの式は E を電場の強度、B を磁束密度、D を電束密度、H を磁場の強度、ρ を電荷密度、j を電流密度として、作用素 ∇ を用いて
![{\displaystyle {\begin{cases}\nabla \cdot {\boldsymbol {B}}(t,{\boldsymbol {x}})&=0\\\nabla \times {\boldsymbol {E}}(t,{\boldsymbol {x}})+{\frac {\partial {\boldsymbol {B}}(t,{\boldsymbol {x}})}{\partial t}}&=0\\\nabla \cdot {\boldsymbol {D}}(t,{\boldsymbol {x}})&=\rho (t,{\boldsymbol {x}})\\\nabla \times {\boldsymbol {H}}(t,{\boldsymbol {x}})-{\frac {\partial {\boldsymbol {D}}(t,{\boldsymbol {x}})}{\partial t}}&={\boldsymbol {j}}(t,{\boldsymbol {x}})\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63fbe0965f7ea46a47b1b0ed8d6b9c829555ab4f)
と表記されるが、真空中ではE-B対応とE-H対応により、電束密度 D と電場 E 及び磁場の強度 H と磁束密度 B がそれぞれ
![{\displaystyle {\boldsymbol {D}}=\varepsilon _{0}{\boldsymbol {E}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf8b9d8916579aed176f7e1c45c10083ed341ce4)
![{\displaystyle {\boldsymbol {H}}={\frac {1}{\mu _{0}}}{\boldsymbol {B}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6de0cddd3bbb1fc6c8e2dda66e71eea534bf3c80)
と言う関係にある為、ベクトル解析の回転(「∇×」)と勾配(「∇」)及び発散(「∇·」)とラプラシアン(「∇²」)の演算子をそれぞれ
![{\displaystyle {\mathsf {rot}},~{\mathsf {grad}},~{\mathsf {div}},~\Delta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/879c35798769238c6b36d1d506856f1488580bad)
と定義すると
![{\displaystyle {\mathsf {div}}{\boldsymbol {B}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae8b4b7d64ac8d439f4caf05561ae1be958e2838)
(1)
![{\displaystyle {\mathsf {rot}}{\boldsymbol {E}}=-{\frac {\partial {\boldsymbol {B}}}{\partial t}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c6c4881142a0dbb7fdcd12305920fcaef4e23c0)
(2)
![{\displaystyle {\mathsf {div}}{\boldsymbol {E}}={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e9dfa931a4442abe2c213eca06ee23e39a2431c)
(3)
![{\displaystyle {\mathsf {rot}}{\boldsymbol {B}}=\mu _{0}{\boldsymbol {j}}+\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial {\boldsymbol {E}}}{\partial t}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af3b1fdc3215b8a0c0c256eed23082aebb72ef2a)
(4)
と表わせる。
まず、(2)式の両辺のベクトル場それぞれの回転をとり
![{\displaystyle {\mathsf {rot}}({\mathsf {rot}}{\boldsymbol {E}})=-{\mathsf {rot}}{\frac {\partial {\boldsymbol {B}}}{\partial t}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/175c90d2eb9054242ed4f17c180ba0488a773f16)
と変形して、この式の左辺にベクトル解析の公式
を適用し、右辺は時間微分と空間微分とを交換すると
![{\displaystyle -\Delta {\boldsymbol {E}}+{\mathsf {grad}}({\mathsf {div}}{\boldsymbol {E}})=-{\frac {\partial }{\partial t}}({\mathsf {rot}}{\boldsymbol {B}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1fbb8add663ada4db3e043df1e7c2a3f4c5d438)
となる。そしてこの式に、(3)式及び(4)式を代入すると
![{\displaystyle \therefore -\Delta {\boldsymbol {E}}+{\frac {1}{\varepsilon _{0}}}{\mathsf {grad}}\rho =-\mu _{0}{\frac {\partial {\boldsymbol {j}}}{\partial t}}-\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}{\boldsymbol {E}}}{\partial t^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92a549a1459c3b2844b601162f687203da9f8f5e)
(5)
となる。
また、(4)式の両辺のベクトル場それぞれの回転をとり
![{\displaystyle {\mathsf {rot}}({\mathsf {rot}}{\boldsymbol {B}})=\mu _{0}\operatorname {rot} {\boldsymbol {j}}+\mu _{0}\varepsilon _{0}{\mathsf {rot}}{\frac {\partial {\boldsymbol {E}}}{\partial t}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5433dd6efda4a6bfc5428920e6399345094a94df)
と変形した後、電場の場合と同様に
![{\displaystyle -\Delta {\boldsymbol {B}}+{\mathsf {grad}}({\mathsf {div}}{\boldsymbol {B}})=\mu _{0}\operatorname {rot} {\boldsymbol {j}}+\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial }{\partial t}}({\mathsf {rot}}{\boldsymbol {E}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a59a7f117c105de9bbc6b08fd0eb87ee72c3bcb7)
と式変形して、この式に(1)式及び(2)式を代入すると
![{\displaystyle \therefore -\Delta {\boldsymbol {B}}=\mu _{0}\operatorname {rot} {\boldsymbol {j}}-\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}{\boldsymbol {B}}}{\partial t^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50f9887545ed4d735a7056ae65f8a0054dd52b1b)
(6)
となる。
ここで、ダランベルシアンを
![{\displaystyle \Box ={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\Delta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a20ae9dd8652a7b4cf4ba5602a8663aa03098091)
と定義すると、(5)式及び(6)式は
- ∴
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\square {\boldsymbol {E}}=-{\frac {1}{\varepsilon _{0}}}{\mathsf {grad}}\rho -\mu _{0}{\frac {\partial {\boldsymbol {j}}}{\partial t}}+\left({\frac {1}{c^{2}}}-\mu _{0}\varepsilon _{0}\right){\frac {\partial ^{2}{\boldsymbol {E}}}{\partial t^{2}}}\\&\square {\boldsymbol {B}}=\mu _{0}\operatorname {rot} {\boldsymbol {j}}+\left({\frac {1}{c^{2}}}-\mu _{0}\varepsilon _{0}\right){\frac {\partial ^{2}{\boldsymbol {B}}}{\partial t^{2}}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8013eade29e1255e9fbf096074d613279483b7aa)
と表され、電磁波を伝播速度が
![{\displaystyle c={\frac {1}{\sqrt {\mu _{0}\varepsilon _{0}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71677838a5d6660a32242c0493d13469ef258c95)
で表される波であると仮定すると
- ∴
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\begin{aligned}\square {\boldsymbol {E}}&=-{\frac {1}{\varepsilon _{0}}}\left({\mathsf {grad}}\rho +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial {\boldsymbol {j}}}{\partial t}}\right)\\&=-\mu _{0}\left(c^{2}{\mathsf {grad}}\rho +{\frac {\partial {\boldsymbol {j}}}{\partial t}}\right)\end{aligned}}\\&{\begin{aligned}\square {\boldsymbol {B}}&=\mu _{0}\operatorname {rot} {\boldsymbol {j}}\\&={\frac {1}{\varepsilon _{0}c^{2}}}\operatorname {rot} {\boldsymbol {j}}\end{aligned}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/809739b09d41590a327c8d91b5e3aea54fba367a)
となり、真空の透磁率 μ0 か真空の誘電率 ε0 のどちらか一方のみを係数として表す事も出来る。更に、ソースとなる電流が存在しなければ ρ 及び j が消えるので、(5)式及び(6)式は完全に電磁波に関する波動方程式となる。
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