曲線

一般に、曲線（きょくせん）とはまっすぐではない曲がった線、したがって直線ではない線を意味する語である。ただし、数学においては、曲線にはその特別な場合として直線や線分の概念を含む。特に解析幾何学において、曲線は（本質的に一変数の）連続関数（の組）を用いて記述される。

定義

平面曲線

パラメータ t は実数のある区間 I（たとえば、数直線全体 R とか閉区間 [0, 1] など）を動くものとし、連続関数 φ(t), ψ(t) を与える。このとき、x = φ(t), y = ψ(t) とおくことにより、xy-平面 R² において、(x, y) = (φ(t), ψ(t)) で表される点の軌跡を平面曲線という。

あるいはこれを φ(t) = (φ(t), ψ(t)) と置いて得られる実変数ベクトル値関数 φ: I → R² そのものを平面曲線と呼ぶこともある。このとき曲線には、I での大小関係から自然に向きがつく。

もし、x = φ(t) が t について解くことが出来るなら、t = φ^-1(x) と書けて、y = ψ(φ^-1(x)) となるから、

y=f(x)\quad (f=\psi \circ \varphi ^{-1})

という連続関数 f が得られる。

逆に、連続関数 f があって y = f(x) と書けているなら、φ = id_I, ψ = f（あるいは同じことだが、x = t, y = f(t)）と置いてやれば (φ(t), ψ(t)) = (x, f(x)) の軌跡は平面曲線を描く。

あるいは、x = φ(t), y = ψ(t) を連立してパラメータ t が消去できるなら、それは 2 変数の連続関数 F を用いて、F(x, y) = 0 の形に表すことが出来る。

平面曲線の例

y = f(x) が多項式関数なら連続であるから、よく知られた一次関数や二次関数のグラフは平面曲線の例である。

別の例としては
$x={\frac {3t}{1+t^{3}}},\,y={\frac {3t^{2}}{1+t^{3}}}$

で表される曲線（デカルトの正葉曲線）がある。これは y = f(x) の形には書けないが、x³ - 3xy + y³ = 0 の形に表される（三次曲線の一種である）。

あるいは、x = cos t, y = sin t (t ∈ [0, 2π)) とおけば、これが単位円を描くこと、すなわち x² + y² = 1 を満たす点の軌跡に一致することはよく知られている。すなわち、円も平面曲線の例である。

空間内の曲線

上で見たことは、空間の次元が上がっても本質的に同じことが言える。一般に n 次元の場合を記しておく。

ある区間 I 内で連続的に変化するパラメータ t で添字付けられる Rⁿ 内の点の族 x(t) = (x₁(t), x₂(t), ..., x_n(t)) で各 x_k(t) が t についての連続関数となるもの軌跡あるいは関数 x: I → Rⁿ そのものを n 次元空間内の曲線とよぶ。特に n = 3 のときを空間曲線と呼ぶことがある。

注意

通常は、各 x_k(t) は t について区分的に十分滑らかであるなどの制限を加えることが多い。そうでなければ、たとえば平面上のあらゆる点を埋め尽くすペアノ曲線のような病的なものまでが曲線の仲間に入ってしまって不便だからである。

一般の位相空間内の曲線

同様に一般の位相空間 E に対して、区間 I 上で定義される連続写像 ρ の像あるいは写像そのものを E 内の曲線という。

区間 I は連続的に変形して長さを 1 にできるから、一般に I としては [0, 1] をとることが多い。あるいは端点を含まないときは (0, 1) や [0, 1), (0, 1] を使う。

向きのある曲線 ρ: [0, 1] → E に対し、x₀ = ρ(0), x₁ = ρ(1) をそれぞれ、曲線 ρ の始点、終点と呼び、ρ を x₀ と x₁ を結ぶ道 (path) と呼ぶことがある。

λ(0) = λ(1) = x₀ となる連続写像 λ は（x₀ を基点とする）閉曲線あるいは閉道、ループなどという。

さらに一般化

上では、曲線を連続な写像（の組）であると定義した。しかしこの「連続」という部分を強めたり弱めたりすることが出来る。たとえば、仮定を弱めて「区分的に連続（高々有限個の不連続点を持つがそれ以外は連続）」などとすると、一般にいくつかの曲線の和集合になる。これを曲線に入れる立場からは、この区分的に連続な写像としての曲線を区分的に連続な曲線と呼んで区別する。

あるいは上で既に定義した意味での（連続写像としての）曲線を連続曲線という。これは一般に「一つのつながった曲線（（弧状）連結な曲線）」というのとは意味が異なる。曲線が自己交差を持つことがあるからである。ただし、多項式関数 y = f(x) のグラフなどでは連続曲線と連結な曲線は同義なものになる。

また、一般化というよりは制限になるが、仮定を強めて「微分可能（滑らか）」とすると、この曲線は尖った点を持たない。つまり、逆に言うと、可微分でなければ尖った点を持ちうるということである。これは例えば、絶対値をとる関数 y = |x| を x = 0 を内点として含む区間 I で考えたものは微分不可能な x = 0 において尖った点を持っていることなどからわかるだろう。曲線上の任意の点で微分可能な曲線を可微分曲線あるいは滑らかな曲線という。

日常語としての「曲線」はほとんどすべての場合、可微分曲線であるといってよい。