立方根

立方根（りっぽうこん、cubic root、root of third power）とは、ある数が与えられた時、三乗して与えられた数となるような新たな数を指す。三乗根（さんじょうこん）とも云う。

定義

積の定義された集合 E を固定して考える。E の元 a に対し、a = x³ を満たす x ∈ E が存在するとき、x は E における a の立方根であるという。また、立方根を求めることを開立（かいりゅう）という。

a が実数であれば a の立方根は実数の範囲に常に唯一つ存在 し、それを ${\sqrt[{3}]{a}}$ と表す。

性質

• 正の数 a に対して、

  ${\sqrt[{3}]{-a}}=-{\sqrt[{3}]{a}}.$

• 1 の虚立方根の一つを ω とすると、もう一つの虚立方根は ω² であり、ω, ω² はともに 1 の原始冪根である。また、1 + ω + ω² = 0 が成り立つ。
• α が 0 でない複素数ならば、α の立方根は常に 3 個あり、それらは複素数平面上で、原点 0 を中心とする半径 ${\sqrt[{3}]{|\alpha |}}$ の円に内接する正三角形の頂点になる。

関連項目

• 立方数
• 冪根
• 平方根
• 代数的数
• 定規とコンパスによる作図（三大問題の内の「立方倍積問題」） Template:Link FA