「曲線」の版間の差分

{{otheruses|数学上の曲線|道路や鉄道路線に見られる曲線|線形 (路線)}}

 

のちの時代の解説者は、様々な枠組みに従ってさらに線を分類している。例えば

 

[[File:Folium Of Descartes.svg|thumb|225px|left|解析幾何学は、幾何学的作図の代わりに方程式を用いた定義により、[[デカルトの正葉線]]のような曲線も扱えるようにした]]

 

円錐曲線は[[ヨハネス・ケプラー|ケプラー]]が[[天文学]]に応用した。

ニュートンも[[変分法]]の初期の例に取り組んだ。例えば[[最速降下曲線|最速降下問題]]や[[等時曲線|等時問題]]のような変分問題の解曲線として、新たな方法に関する曲線の性質が導入された（この例の場合は[[擺線]]）。[[懸垂線]]は吊るされた鎖の問題の解曲線としてその名がある。この種の問題は[[微分法]]の登場とともに機械的に扱えるものとなっていった。

 

 

19世紀以降は独立した曲線論ではなく、[[射影幾何学]]や[[微分幾何学]]の一次元的側面として曲線が現れるようになる。後には[[位相幾何学]]でも扱われ、そのころには例えば[[ジョルダン曲線定理]]は、[[複素解析]]において必要とされるだけでなく、極めて深い内容を持つものと理解されるようになる。[[空間充填曲線]]の現れる時代には、ついに現代的な曲線の定義が生み出されることとなる。

 

== 定義 ==

[[File:Mandelbrot Components.svg|250px|right|thumb|[[マンデルブロ集合]]の双曲成分の境界は閉曲線である]]

 

* 曲線 {{mvar|γ}} が'''単純'''または'''ジョルダン弧'''であるとは、{{mvar|γ}} が[[単射]]（すなわち {{math|''x'', ''y'' ∈ ''I''}} が {{math|1=''γ''(''x'') = ''γ''(''y'')}} を満たすならば必ず {{math|1=''x'' = ''y''}}）となることを言う。ただし、{{mvar|I}} が有界閉区間 {{closed-closed|''a'', ''b''}} のときには、{{math|1=''γ''(''a'') = ''γ''(''b'')}} となることは許す（このように約束すれば、単純閉曲線について述べることができる）。日常語で言えば、「自分自身と交叉することがなく、また途切れたりもしていない」曲線が単純曲線である<ref>{{cite web|url=http://dictionary.reference.com/browse/jordan%20arc |title=Jordan arc definition at Dictionary.com. Dictionary.com Unabridged. Random House, Inc |publisher=Dictionary.reference.com |date= |accessdate=2012-03-14}}</ref>。

* （{{mvar|I}} の端点以外の）適当な {{math|''x'' ≠ ''y''}} で {{math|1=''γ''(''x'') = ''γ''(''y'')}} となるならば、{{math|''γ''(''x'')}} はこの曲線の'''多重点'''（少なくとも'''二重点'''）と呼ばれる[[曲線の特異点]]である。

 

'''[[平面曲線]]'''は {{mvar|X}} が[[ユークリッド平面]]、場合によっては[[射影平面]]であるような場合の曲線を言う。'''{{vanc|空間曲線}}'''は {{mvar|X}} が三次元の空間（ふつうは[[ユークリッド空間]]）の場合を言い、'''{{vanc|非平面曲線}}''' (skew curve) はどのような平面上にも載っていない空間直線を言う。これら平面・空間・非平面曲線の区別は{{ill2|実代数幾何学|label=実代数曲線|en|real algebraic geometry}}にも適用できるが、代数曲線がここでいう曲線の定義を満たさないことは注意すべきである（たとえば実代数曲線は[[連結空間|不連結]]になりうる）。

 

 

== 曲線の長さ ==

{{mvar|X}} を {{mvar|n}}-次元[[ユークリッド空間]] {{math|'''R'''{{sup|''n''}}}} とし、曲線 {{math|''γ'': {{closed-closed|''a'', ''b''}} → ''X''}} は単射かつ[[連続的微分可能]]とすれば、{{mvar|γ}} の'''長さ''' (''length'') とは

: <math>\operatorname{Length}(\gamma) := \int_{a}^{b} |\gamma'(t)|\mathit{dt}</math>

: <math>s = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + [f'(x)]^{2}}\,\mathit{dx}</math>

で与えられる。より一般に {{mvar|X}} が距離函数 {{mvar|d}} を持つ[[距離空間]]とすれば、曲線 {{math|''γ'': {{closed-closed|''a'', ''b''}} → ''X''}} の長さは

代数曲線は[[代数幾何学]]で扱われる曲線である。'''平面代数曲線'''は、各座標 {{mvar|x, y}} が適当な体 {{mvar|F}} 上の二変数多項式 {{mvar|f}} を用いて {{math|1=''f''(''x'', ''y'') = 0}} を満たすような点全体の成す[[軌跡 (数学)|軌跡]]を言う。通例、代数幾何学においては {{mvar|F}} に座標をとる点だけを見るのではなく、適当な[[代数閉体]] {{mvar|K}} に座標をとる点すべてを考える。曲線 {{mvar|C}} が {{mvar|F}}-係数多項式 {{mvar|f}} によって定義されているとき、曲線 {{mvar|C}} は '''{{mvar|F}} 上定義されている'''と言う。曲線 {{mvar|C}} の点は、その各座標がすべて一つの体 {{mvar|G}} に属しているとき、'''{{mvar|G}} 上の有理点'''あるいは短く {{mvar|G}}-有理点と呼ぶ。{{mvar|C}} の {{mvar|G}}-有理点全体の成す集合は {{math|''C''(''G'')}} と書かれる。{{mvar|G}} が[[有理数]]全体の成す体であるときは、単に「有理点」と呼ぶ。例えば、[[フェルマーの最終定理]]を「{{math|''n'' > 2}} に対して、次数 {{math|2}} の{{ill2|フェルマー曲線|en|Fermat curve}}の任意の有理点は必ず何れかの座標が零に等しい」と言い換えることができる。

 

 

平面代数曲線は[[射影平面]]内の曲線として計算することもできる。曲線が全次数 {{mvar|d}} の多項式 {{mvar|f}} で定義されているとき、{{math|''w{{sup|d}}''&sdot;''f''(''u''/''w'', ''v''/''w'')}} は斉次次数 {{mvar|d}} の[[斉次多項式]] {{math|''g''(''u'', ''v'', ''w'')}} に簡略化できる。{{math|1=''g''(''u'', ''v'', ''w'') = 0}} を満たす {{mvar|u, v, w}} の値はもとの曲線を完備化した射影曲線上の曲線上の点の斉次座標を与えており、特にもともとの曲線上の点は {{mvar|w}} が非零であるような点として表される。例えば{{ill2|フェルマー曲線|en|Fermat curve}} {{math|1=''u{{sup|n}}'' + ''v{{sup|n}}'' = ''w{{sup|n}}''}} はそのアフィン形が {{math|1=''x{{sup|n}}'' + ''y{{sup|n}}'' = 1}} で与えられる。この斉次化の過程はより高次元の空間内の曲線に対しても同様に定義できる。

 

代数曲線の重要な例として、[[円錐曲線]]は次数 {{math|2}}, [[種数]] {{math|0}} の非特異曲線であり、[[楕円曲線]]は[[数論]]で扱われ[[暗号理論]]に重要な応用を持つ種数 {{math|1}} の非特異曲線である。[[標数]] {{math|0}} の体における代数曲線はほとんどすべての場合に[[複素数]]上で考えるから、代数幾何学における代数曲線は[[実数|実]]曲面と見ることもできる。特に、非特異な複素射影代数曲線は[[リーマン面]]と呼ばれる。

 

== 関連項目 ==

* {{ill2|曲線の微分幾何|en|Differential geometry of curves}}

* {{ill2|曲線の向き|en|Curve orientation}}

* [[曲率]]

* {{ill2|座標曲線|en|Coordinate curve}}

* {{ill2|接触円|en|Osculating circle}}

{{Div col end}}

 

== 外部リンク ==

{{Commons category|Curves}}

*[http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/Curves/Curves.html Famous Curves Index], School of Mathematics and Statistics, University of St Andrews, Scotland

*[http://www.2dcurves.com/ Mathematical curves] A collection of 874 two-dimensional mathematical curves

* {{MathWorld|urlname=Curve|title=Curve|author=Insall, Matt; Stover, Christopher; Weisstein, Eric W.}}

* {{PlanetMath|urlname=Curve|title=Curve}}

{{Normdaten}}

{{DEFAULTSORT:きよくせん}}