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{{otheruses|数学上の曲線|道路や鉄道路線に見られる曲線|線形 (路線)}}
一般に、'''曲線'''（きょくせん）とはまっすぐではない曲がった線、したがって[[直線]]ではない線を意味する語である。ただし、[[数学]]においては、曲線にはその特別な場合として直線や[[線分]]の概念を含む。特に[[解析幾何学]]において、曲線は（本質的に一変数の）[[連続]][[関数 (数学)|関数]]（の組）を用いて記述される。
{{出典の明記|date=2023年5月}}
[[File:Parabola.svg|right|thumb|[[放物線]]は簡単な曲線の例である]]
[[数学]]における'''曲線'''（きょくせん、{{lang-en-short|''curve'', ''curved line''}}）は、一般に[[直線|まっすぐ]]とは限らない[[幾何学]]的対象としての「線」を言う。{{efn|現代数学では "line" を専ら[[直線]]の意味で用いるが、歴史的には "line"を「線」という意味で現代用語ならば "curve" とするところで用いた。そのような語法では、特に真っ直ぐでない「曲線」は "curved lines" と言い、それと区別して「直線」には "straight line" や "right line" という語句が用いられた。例えば、[[ユークリッド原論]] I 巻では「定義 2. 線とは幅の無い長さである」および「定義 4. 直線とはその上の全ての点に一様に横たわる線である」と定義される。ユークリッドの「線」の概念は「定義 3. 線の両端は点である」によって明瞭になるかもしれない。{{sfn|Heath|1908|p=153}}
 
のちの時代の解説者は、様々な枠組みに従ってさらに線を分類している。例えば
==定義==
*Composite lines (角を成す二線)
===平面曲線===
*Incomposite lines
[[媒介変数|パラメータ]] ''t'' は[[実数]]のある[[区間]] ''I''（たとえば、数直線全体 '''R''' とか閉区間 [0, 1] など）を動くものとし、連続関数 &phi;(''t''), &psi;(''t'') を与える。このとき、''x'' = &phi;(''t''), ''y'' = &psi;(''t'') とおくことにより、xy-平面 '''R'''<sup>2</sup> において、(''x'', ''y'') = (&phi;(''t''), &psi;(''t'')) で表される点の軌跡を'''平面曲線'''という。
**Determinate (無限に延長されない線; 円など)
**Indeterminate (無限に延長される線; 直線、抛物線など)
など{{sfn|Heath|1908|p=160}}。
}} つまり、曲線とは[[曲率]]が零とは限らないという意味での直線の一般化である。
 
数学の様々な分野において、その研究領域に応じたそれぞれやや異なる意味で「曲線」の語が用いられる（から、精確な意味は文脈に即して捉えるべきである）が、それらの意味の多くは以下に挙げる定義の特別な実例になっているはずである。すなわち、曲線とは局所的に[[直線]]と[[同相]]であるような[[位相空間]]を言う。それは日常語で言えば、曲線は点の集合であって、それらの点が十分近くであれば直線のように見えるが、変形があってもよいというような意味である。数学の各分野で扱われる{{ill2|曲線の一覧|en|list of curves|label=曲線の数は多岐にわたる}}。
あるいはこれを '''&phi;'''(''t'') = (&phi;(''t''), &psi;(''t'')) と置いて得られる実変数ベクトル値関数 '''&phi;''': ''I'' &rarr; '''R'''<sup>2</sup> そのものを平面曲線と呼ぶこともある。このとき曲線には、''I'' での大小関係から自然に''向き'' がつく。
 
最初に触れる曲線の簡単な例というのはほとんどの場合「平面曲線」（例えば平らな紙の上に描いた曲がった線）であろうが、[[螺旋]]のように三次元的なものもある。幾何学的な必要性や、例えば[[古典力学]]からの要請で任意次元の空間に埋め込まれた曲線の概念も必要とされる。[[一般相対論]]において[[世界線]]とは[[時空]]内の曲線である。
もし、''x'' = &phi;(''t'') が ''t'' について解くことが出来るなら、''t'' = &phi;<sup>-1</sup>(''x'') と書けて、''y'' = &psi;(&phi;<sup>-1</sup>(''x'')) となるから、
:<math>y = f(x) \quad (f = \psi \circ \varphi^{-1})</math>
という[[連続関数]] ''f'' が得られる。
 
; 注: 一般用語として、「曲線」が（[[成長曲線]]や[[フィリップス曲線]]の例に見るように）[[函数のグラフ]]、あるいはより多様な{{ill2|二次元図表|en|two-dimensional graph}}の意味で用いられることがあるが、本項で言う意味とは（近い関連はあるにせよ）異なるものと理解すべきである。
逆に、連続関数 ''f'' があって ''y'' = ''f''(''x'') と書けているなら、&phi; = id<sub>''I''</sub>, &psi; = ''f''（あるいは同じことだが、''x'' = ''t'', ''y'' = ''f''(''t'')）と置いてやれば (&phi;(''t''), &psi;(''t'')) = (''x'', ''f''(''x'')) の軌跡は平面曲線を描く。
 
== 歴史 ==
あるいは、''x'' = &phi;(''t''), ''y'' = &psi;(''t'') を連立してパラメータ ''t'' が消去できるなら、それは 2 変数の連続関数 ''F'' を用いて、''F''(''x'', ''y'') = 0 の形に表すことが出来る。
[[File:Newgrange Entrance Stone.jpg|thumb|225px|ニューグレンジの{{ill2|巨石芸術|en|Megalithic art}}は古代における曲線への興味を示している]]
曲線への関心が、それが数学的研究の主題となるよりずっと昔から存在したことは、先史時代までさかのぼれる芸術や日用品において装飾的に用いられる種々の例から見てとることができる{{sfn|Lockwood|1961|p= ix}}。曲線、あるいは少なくともそれらの視覚的表現は、例えば浜の砂に棒きれで描くように、容易に作り出せる。
 
[[File:Conic sections with plane.svg|thumb|225px|円錐を切断して得られる曲線（[[円錐曲線]]）は古代ギリシアで研究された曲線の一つである。]]
====平面曲線の例====
古代ギリシアの[[幾何学者]]は多種多様な曲線を研究した。その一つの理由は、彼らが標準的な[[コンパスと定木を用いた作図]]を用いて解くことのできない幾何学的問題を解くことに関心を持っていたからである。
* ''y'' = ''f''(''x'') が[[多項式]]関数なら連続であるから、よく知られた[[1次関数|一次関数]]や[[2次関数|二次関数]]のグラフは平面曲線の例である。
* [[円錐曲線]]は[[ペルガのアポロニウス]]が研究した。
* [[ディオクレスのシッソイド]]は{{ill2|ディオクレス|en|Diocles (mathematician)}}が研究し、[[立方倍積問題]]に用いた{{sfn|Lockwood|1961|p=132}}。
* [[ニコメデスのコンコイド]]は{{ill2|ニコメデス|en|Nicomedes (mathematician)}}が研究し、立方倍積問題と[[角の三等分問題]]の両方に用いた{{sfn|Lockwood|1961|p=129}}。
* [[アルキメデスの螺旋]]は[[シラクサのアルキメデス]]が研究し、角の三等分問題と[[円積問題]]に用いた<ref>{{MacTutor|class=Curves|id=Spiral|title=Spiral of Archimedes}}</ref>。
* {{ill2|spiric section|en|spiric section}} (ペルセウスの{{ill2|トーラス曲線|en|Toric section}}) は{{ill2|ペルセウス (幾何学者)|en|Perseus (geometer)|label=ペルセウス}}の研究した、（アポロニウスの円錐曲線と同様に）平面による切断で[[トーラス]]の断面に現れる曲線である。
 
[[File:Folium Of Descartes.svg|thumb|225px|left|解析幾何学は、幾何学的作図の代わりに方程式を用いた定義により、[[デカルトの正葉線]]のような曲線も扱えるようにした]]
* 別の例としては
曲線論の基本的な進歩は17世紀に[[解析幾何学]]によってもたらされた。これにより曲線は、極めて精巧な幾何学的構成ではなく、方程式を用いて記述することができるようになる。これは新しい曲線を定義して研究できるようになるというばかりでなく、[[代数方程式]]を用いて定義できる[[代数曲線]]と、そうでない{{仮リンク|超越曲線|en|transcendental curve}}という、曲線の形式的な区別も可能となることも意味する。それ以前には、曲線が「どのように生成されたか」または「どのようにして生成できるか」の別に従って「幾何学的」または「機械的」と記述されていた{{sfn|Lockwood|1961|p= ix}}。
*:<math>x = \frac{3t}{1+t^3},\,y = \frac{3t^2}{1+t^3}</math>
:で表される曲線（デカルトの正葉曲線）がある。これは ''y'' = ''f''(''x'') の形には書けないが、''x''<sup>3</sup> - 3''xy'' + ''y''<sup>3</sup> = 0 の形に表される（三次曲線の一種である）。
 
円錐曲線は[[ヨハネス・ケプラー|ケプラー]]が[[天文学]]に応用した。
* あるいは、''x'' = cos ''t'', ''y'' = sin ''t'' (''t'' &isin; [0, 2&pi;)) とおけば、これが[[単位円]]を描くこと、および ''x''<sup>2</sup> + ''y''<sup>2</sup> = 1 を満たす点の軌跡に一致することはよく知られている。
ニュートンも[[変分法]]の初期の例に取り組んだ。例えば[[最速降下曲線|最速降下問題]]や[[等時曲線|等時問題]]のような変分問題の解曲線として、新たな方法に関する曲線の性質が導入された（この例の場合は[[擺線]]）。[[懸垂線]]は吊るされた鎖の問題の解曲線としてその名がある。この種の問題は[[微分法]]の登場とともに機械的に扱えるものとなっていった。
 
一般に平面代数曲線論が始まるのは18世紀からである。ニュートンは、実点集合が「卵形」になることに関する一般記述において、[[三次曲線]]を研究した。[[ベズーの定理]]の主張は、当時の幾何学が直接的に扱えない数々の側面を示しており、特異点や複素数解も併せて扱う必要がある。
===空間内の曲線===
上で見たことは、[[ユークリッド空間|空間]]の次元が上がっても本質的に同じことが言える。一般に ''n'' 次元の場合を記しておく。
 
19世紀以降は独立した曲線論ではなく、[[射影幾何学]]や[[微分幾何学]]の一次元的側面として曲線が現れるようになる。後には[[位相幾何学]]でも扱われ、そのころには例えば[[ジョルダン曲線定理]]は、[[複素解析]]において必要とされるだけでなく、極めて深い内容を持つものと理解されるようになる。[[空間充填曲線]]の現れる時代には、ついに現代的な曲線の定義が生み出されることとなる。
ある区間 ''I'' 内で連続的に変化するパラメータ ''t'' で添字付けられる '''R'''<sup>''n''</sup> 内の点の族 '''x'''(''t'') = (''x''<sub>1</sub>(''t''), ''x''<sub>2</sub>(''t''), ..., ''x''<sub>''n''</sub>(''t'')) で各 ''x''<sub>''k''</sub>(''t'') が ''t'' についての連続関数となるもの軌跡あるいは関数 '''x''': ''I'' &rarr; '''R'''<sup>''n''</sup> そのものを ''n'' 次元空間内の'''曲線'''とよぶ。特に ''n'' = 3 のときを'''空間曲線'''と呼ぶことがある。
 
====注意== 定義 ==
{{main|道 (位相幾何学)}}
通常は、各 ''x''<sub>''k''</sub>(''t'') は ''t'' について区分的に[[微分|十分滑らか]]であるなどの制限を加えることが多い。そうでなければ、たとえば平面上のあらゆる点を埋め尽くす[[ペアノ曲線]]のような病的なものまでが曲線の仲間に入ってしまって不便だからである。
[[File:Mandelbrot Components.svg|250px|right|thumb|[[マンデルブロ集合]]の双曲成分の境界は閉曲線である]]
 
一般に'''曲線'''は[[実数直線]]内の[[区間 (数学)|区間]] {{mvar|I}} から[[位相空間]] {{mvar|X}} への[[連続写像]] {{math|''γ'': ''I'' → ''X''}} を通じて定義される。写像 {{mvar|γ}} 自身を曲線と呼ぶか、{{mvar|γ}} の[[像 (数学)|像]]を曲線と呼ぶかは文脈による。例えば[[位相空間論]]において写像自身を曲線と呼ぶのは、単に連続というだけの写像の像を曲線と呼ぼうとすれば、およそ一般的に言う意味での曲線とは思えないものまで曲線と呼ぶことになってしまうためである。他方で、[[可微分函数]]（あるいは少なくとも[[区分的に微分可能]]な函数）の定める曲線を対象とするならば、曲線と呼ぶのはふつう像のほうである。
===一般の位相空間内の曲線===
同様に一般の位相空間 ''E'' に対して、区間 ''I'' 上で定義される連続写像 &rho; の像あるいは写像そのものを ''E'' 内の'''曲線'''という。
 
[[File:Open Jordan Curve.svg|thumb|開ジョルダン曲線]]
区間 ''I'' は連続的に変形して長さを 1 にできるから、一般に ''I'' としては [0, 1] をとることが多い。あるいは端点を含まないときは (0, 1) や [0, 1), (0, 1] を使う。
* 曲線 {{mvar|γ}} が'''単純'''または'''ジョルダン弧'''であるとは、{{mvar|γ}} が[[単射]]（すなわち {{math|''x'', ''y'' ∈ ''I''}} が {{math|1=''γ''(''x'') = ''γ''(''y'')}} を満たすならば必ず {{math|1=''x'' = ''y''}}）となることを言う。ただし、{{mvar|I}} が有界閉区間 {{closed-closed|''a'', ''b''}} のときには、{{math|1=''γ''(''a'') = ''γ''(''b'')}} となることは許す（このように約束すれば、単純閉曲線について述べることができる）。日常語で言えば、「自分自身と交叉することがなく、また途切れたりもしていない」曲線が単純曲線である<ref>{{cite web|url=http://dictionary.reference.com/browse/jordan%20arc |title=Jordan arc definition at Dictionary.com. Dictionary.com Unabridged. Random House, Inc |publisher=Dictionary.reference.com |date= |accessdate=2012-03-14}}</ref>。
* （{{mvar|I}} の端点以外の）適当な {{math|''x'' ≠ ''y''}} で {{math|1=''γ''(''x'') = ''γ''(''y'')}} となるならば、{{math|''γ''(''x'')}} はこの曲線の'''多重点'''（少なくとも'''二重点'''）と呼ばれる[[曲線の特異点]]である。
* 曲線 {{mvar|γ}} が'''閉'''あるいは'''ループ'''であるとは、{{mvar|I}} が有界閉区間で、それを {{closed-closed|''a'', ''b''}} と書けば {{math|1=''γ''(''a'') = ''γ''(''b'')}} となるときに言う。したがって、閉曲線は[[円周]] {{math|''S''{{sup|1}}}} の連続像になっている。'''単純閉曲線'''は'''[[ジョルダン曲線]]'''とも呼ばれ、[[ジョルダン曲線定理]]はジョルダン曲線が平面全体を「内側」と「外側」の二つに分けることを述べるものである。
 
'''[[平面曲線]]'''は {{mvar|X}} が[[ユークリッド平面]]、場合によっては[[射影平面]]であるような場合の曲線を言う。'''{{vanc|空間曲線}}'''は {{mvar|X}} が三次元の空間（ふつうは[[ユークリッド空間]]）の場合を言い、'''{{vanc|非平面曲線}}''' (skew curve) はどのような平面上にも載っていない空間直線を言う。これら平面・空間・非平面曲線の区別は{{ill2|実代数幾何学|label=実代数曲線|en|real algebraic geometry}}にも適用できるが、代数曲線がここでいう曲線の定義を満たさないことは注意すべきである（たとえば実代数曲線は[[連結空間|不連結]]になりうる）。
向きのある曲線 &rho;: [0, 1] &rarr; ''E'' に対し、''x''<sub>0</sub> = &rho;(0), ''x''<sub>1</sub> = &rho;(1) をそれぞれ、曲線 &rho; の'''始点'''、'''終点'''と呼び、&rho; を ''x''<sub>0</sub> と ''x''<sub>1</sub> を結ぶ'''道''' (path) と呼ぶことがある。
 
ここでの曲線の定義は、幅が無く途切れもない直線の'''ような'''連結で連続な図形という曲線に対する我々の直観的概念をよく捉えているものになっているが、一般的な意味では曲線とはいいがたい[[病的 (数学)|病的]]な図形も含まれてしまう。例えば、平面上の[[正方形]]を像が被覆するような曲線（[[空間充填曲線]]）が存在する。単純平面曲線の像が一つ大きい[[ハウスドルフ次元]]を持ち得る（[[コッホ雪片]]を参照）し、さらに[[正数|正]]の[[ルベーグ測度]]さえ持ち得る<ref>{{cite journal|last=Osgood|first=William F.|date=January 1903|title=A Jordan Curve of Positive Area|journal=Transactions of the American Mathematical Society|volume=4|issue=1|pages=107–112|publisher=American Mathematical Society|doi=10.2307/1986455|jstor=1986455|authorlink1=William Fogg Osgood|issn=0002-9947}}<!--|accessdate=2008-06-04--></ref>（それは[[ペアノ曲線]]の構成を少し変更すれば作れる）。[[ドラゴン曲線]]はもうひとつの変な例である。
&lambda;(0) = &lambda;(1) = ''x''<sub>0</sub> となる連続写像 &lambda; は（''x''<sub>0</sub> を基点とする）'''閉曲線'''あるいは'''閉道'''、'''ループ'''などという。
 
== 曲線の長さ ==
===さらに一般化===
{{main|弧長}}
上では、曲線を連続な写像（の組）であると定義した。しかしこの「連続」という部分を強めたり弱めたりすることが出来る。たとえば、仮定を弱めて「区分的に連続（高々有限個の不連続点を持つがそれ以外は連続）」などとすると、一般にいくつかの曲線の和集合になる。これを曲線に入れる立場からは、この区分的に連続な写像としての曲線を'''区分的に連続な曲線'''と呼んで区別する。
{{mvar|X}} を {{mvar|n}}-次元[[ユークリッド空間]] {{math|'''R'''{{sup|''n''}}}} とし、曲線 {{math|''γ'': {{closed-closed|''a'', ''b''}} → ''X''}} は単射かつ[[連続的微分可能]]とすれば、{{mvar|γ}} の'''長さ''' (''length'') とは
: <math>\operatorname{Length}(\gamma) := \int_{a}^{b} |\gamma'(t)|\mathit{dt}</math>
で定義される量を言う。曲線の長さは {{mvar|γ}} の[[パラメトリック方程式|パラメータの取り方]]に依らないことに注意せよ。特に、閉区間 {{closed-closed|''a'', ''b''}} 上定義された連続的微分可能函数 {{math|1=''y'' = ''f''(''x'')}} の[[函数のグラフ|グラフ]] の長さ {{mvar|s}} は
: <math>s = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + [f'(x)]^{2}}\,\mathit{dx}</math>
で与えられる。より一般に {{mvar|X}} が距離函数 {{mvar|d}} を持つ[[距離空間]]とすれば、曲線 {{math|''γ'': {{closed-closed|''a'', ''b''}} → ''X''}} の長さは
: <math> \operatorname{Length}(\gamma) := \sup\!\Big\{\sum_{i = 1}^{n} d(\gamma(t_{i}),\gamma(t_{i - 1})) : n \in \mathbb{N}, a = t_{0} < t_{1} < \ldots < t_{n} = b \Bigr\}</math>
と定義できる。ただし、上限 sup は任意の自然数 {{mvar|n}} と {{closed-closed|''a'', ''b''}} の任意の[[区間の分割|分割]]に亘ってとる。
 
'''求長可能曲線''' (''rectifiable curve'') とは長さが有限な曲線（有限長曲線）を言う。曲線 {{math|''γ'': {{closed-closed|''a'', ''b''}} → ''X''}} が'''自然'''（または'''単位速さ'''もしくは'''速さ 1'''）あるいは'''弧長パラメータを持つ'''とは、任意の {{math|''t''{{sub|1}}, ''t''{{sub|2}} ∈ {{closed-closed|''a'', ''b''}}}} {{math|(''t''{{sub|1}} &le; ''t''{{sub|2}})}} に対して
あるいは上で既に定義した意味での（連続写像としての）曲線を'''連続曲線'''という。これは一般に「一つのつながった曲線（（弧状）連結な曲線）」というのとは意味が異なる。曲線が自己交差を持つことがあるからである。ただし、多項式関数 ''y'' = ''f''(''x'') のグラフなどでは連続曲線と連結な曲線は同義なものになる。
: <math> \operatorname{Length}(\gamma|_{[t_{1},t_{2}]}) = t_{2} - t_{1}</math>
が成り立つことを言う。{{math|''γ'': {{closed-closed|''a'', ''b''}} → ''X''}} が[[リプシッツ連続]]函数ならば、曲線 {{mvar|γ}} は自動的に求長可能である。さらに言えば、このとき {{mvar|γ}} の'''速さ''' (''speed'') または[[距離微分]]が
: <math>\operatorname{Speed}_{\gamma}(t) := \limsup_{[a,b] \ni s \to t} \frac{d(\gamma(s),\gamma(t))}{|s - t|}</math>
と定義できて、
: <math>\operatorname{Length}(\gamma) = \int_{a}^{b} {\operatorname{Speed}_{\gamma}}(t)\mathit{dt}</math>
が示される。
 
== 微分構造 ==
また、一般化というよりは制限になるが、仮定を強めて「微分可能（滑らか）」とすると、この曲線は尖った点を持たない。つまり、逆に言うと、可微分でなければ尖った点を持ちうるということである。これは例えば、絶対値をとる関数 ''y'' = |''x''| を ''x'' = 0 を内点として含む区間 ''I'' で考えたものは微分不可能な ''x'' = 0 において尖った点を持っていることなどからわかるだろう。曲線上の任意の点で微分可能な曲線を'''可微分曲線'''あるいは'''滑らかな曲線'''という。
{{main|{{ill2|曲線の微分幾何|en|Differential geometry of curves}}}}
 
{{mvar|I}} は[[実数直線]]内の[[区間 (数学)|区間]]とする。{{mvar|X}} が[[可微分多様体]]であるとき、{{mvar|X}} 内の'''可微分曲線'''の概念を考えることができる。厳密さをさておけば'''可微分曲線'''とは局所的に単射[[可微分写像]] {{math|''γ'': ''I'' → ''X''}} で定義される曲線である。より厳密には、可微分曲線は {{mvar|X}} の部分集合 {{mvar|C}} であって、{{mvar|C}} の各点に近傍 {{mvar|U}} が存在して、{{math|''C'' ∪ ''U''}} が実数直線内の区間に[[微分同相]]となる。すなわち、可微分曲線は一次元の[[可微分多様体]]である。この概念は、数学における曲線の使用の大半の部分をカバーするのに十分一般なものである。局所的に見れば {{mvar|X}} は[[ユークリッド空間]] {{math|'''R'''{{sup|''n''}}}} ととることができる。他方、より一般であることは有用で、例えば、可微分曲線の概念を用いて {{mvar|X}} の[[接ベクトル]]を定義することができる。
日常語としての「曲線」はほとんどすべての場合、可微分曲線であるといってよい。
 
同様に {{mvar|X}} が[[滑らかな多様体]]であるとき {{mvar|X}} 内の'''滑らかな曲線'''あるいは '''{{math|''C''{{sup|∞}}}}-級曲線'''を、[[滑らかな関数|滑らかな写像]] {{math|''γ'': ''I'' → ''X''}} によって定義することができる。あるいはより細かく、{{mvar|X}} が {{mvar|C{{sup|k}}}}-級可微分多様体（各[[チャート (多様体)|チャート]]が {{mvar|k}} 回連続的微分可能）ならば、{{mvar|X}} 内の '''{{mvar|C{{sup|k}}}}-級可微分曲線'''あるいは短く {{mvar|C{{sup|k}}}}-級曲線は、写像 {{mvar|γ}} が {{mvar|k}} 回連続的微分可能とだけ仮定することで定義できる。またより強く、{{mvar|X}} が[[解析多様体]]（各チャートが無限回微分可能かつ[[冪級数]]展開可能）で、{{mvar|γ}} が解析写像（{{math|''C''{{sup|ω}}}}-級）ならば、'''解析曲線'''（{{math|''C''{{sup|ω}}}}-級曲線）と呼ぶ。
==性質など==
* 弧状連結の定義: 空間内の任意の点が（連続な）曲線で結べるなら、その空間は弧状連結である。
* 一次元多様体の定義: 曲線上の各点で[[接線]]が引けるならば、その曲線は一次元の[[多様体]]である。
 
可微分曲線が'''非特異''' (''regular'') とは、その[[微分]]が至る所消えないときに言う（つまり、非特異曲線は動点がその曲線上で速度が弱まり停止したり後戻りしたりしない）。二つの {{mvar|C{{sup|k}}}}-級可微分曲線 {{math|''γ''{{sub|1}}; ''I'' → ''X''}}, {{math|''γ''{{sub|2}}: ''J'' → ''X''}} が'''同値'''であるとは、{{mvar|C{{sup|k}}}}-級[[全単射]] {{math|''p'': ''J'' → ''I''}} が存在して、[[逆写像]] {{math|''p''{{sup|&minus;1}}}} も {{mvar|C{{sup|k}}}}-級、かつ任意の {{mvar|t}} において {{math|1=''γ''{{sub|2}}(''t'') = ''γ''{{sub|1}}(''p''(''t''))}} を満たすときに言う。写像 {{math|''γ''{{sub|2}}}} は {{math|''γ''{{sub|1}}}} の'''パラメータの取り換え''' (''reparametrisation'') であると言う。パラメータの取り換えであるという関係は {{mvar|X}} 上の {{mvar|C{{sup|k}}}}-級可微分曲線全体の成す集合上の[[同値関係]]を与え、その各[[同値類]]は {{mvar|C{{sup|k}}}}-級の弧 ({{mvar|C{{sup|k}}}} ''arc'') と呼ばれる。
==代表的な曲線==
* [[ベジェ曲線]]
* インボリュート曲線
* スプライン曲線
* 懸垂曲線（カテナリ）
* [[リサージュ曲線]]
 
== 代数曲線 ==
* [[円錐曲線]]（二次曲線）
{{main|代数曲線}}
**[[円 (数学)|円]] - [[楕円]]
代数曲線は[[代数幾何学]]で扱われる曲線である。'''平面代数曲線'''は、各座標 {{mvar|x, y}} が適当な体 {{mvar|F}} 上の二変数多項式 {{mvar|f}} を用いて {{math|1=''f''(''x'', ''y'') = 0}} を満たすような点全体の成す[[軌跡 (数学)|軌跡]]を言う。通例、代数幾何学においては {{mvar|F}} に座標をとる点だけを見るのではなく、適当な[[代数閉体]] {{mvar|K}} に座標をとる点すべてを考える。曲線 {{mvar|C}} が {{mvar|F}}-係数多項式 {{mvar|f}} によって定義されているとき、曲線 {{mvar|C}} は '''{{mvar|F}} 上定義されている'''と言う。曲線 {{mvar|C}} の点は、その各座標がすべて一つの体 {{mvar|G}} に属しているとき、'''{{mvar|G}} 上の有理点'''あるいは短く {{mvar|G}}-有理点と呼ぶ。{{mvar|C}} の {{mvar|G}}-有理点全体の成す集合は {{math|''C''(''G'')}} と書かれる。{{mvar|G}} が[[有理数]]全体の成す体であるときは、単に「有理点」と呼ぶ。例えば、[[フェルマーの最終定理]]を「{{math|''n'' > 2}} に対して、次数 {{math|2}} の{{ill2|フェルマー曲線|en|Fermat curve}}の任意の有理点は必ず何れかの座標が零に等しい」と言い換えることができる。
**[[放物線]]
**[[双曲線]]
 
代数曲線に対しても空間曲線や高次元空間内の曲線を考えることができる。それは{{ill2|代数多様体の次元|label=一次元|en|Dimension of an algebraic variety}}の[[代数多様体]]として定義されるものである。{{mvar|n}}-次元空間内の代数曲線は、{{underline|少なくとも}} {{math|''n'' &minus; 1}} 本の {{mvar|n}}-変数多項式の共通零点として得られる。{{math|''n'' &minus; 1}} 本の多項式が {{mvar|n}}-次元空間内の曲線を定義するに十分であるとき、その曲線は{{ill2|完全交叉|en|complete intersection}}であると言う。（{{ill2|消去理論|en|elimination theory}}の任意の道具を使って）変数を消去することにより、代数曲線は[[平面代数曲線]]の上に射影することができるけれども、その際に[[尖点]]や[[二重点]]などの[[曲線の特異点|特異点]]が生じる可能性がある。
* [[サイクロイド]] - 外サイクロイド（エピサイクロイド） - 内サイクロイド（ハイポサイクロイド）
* トロコイド - 外トコロイド（エピトコロイド） - 内トコロイド（ハイポトコロイド）
 
平面代数曲線は[[射影平面]]内の曲線として計算することもできる。曲線が全次数 {{mvar|d}} の多項式 {{mvar|f}} で定義されているとき、{{math|''w{{sup|d}}''&sdot;''f''(''u''/''w'', ''v''/''w'')}} は斉次次数 {{mvar|d}} の[[斉次多項式]] {{math|''g''(''u'', ''v'', ''w'')}} に簡略化できる。{{math|1=''g''(''u'', ''v'', ''w'') = 0}} を満たす {{mvar|u, v, w}} の値はもとの曲線を完備化した射影曲線上の曲線上の点の斉次座標を与えており、特にもともとの曲線上の点は {{mvar|w}} が非零であるような点として表される。例えば{{ill2|フェルマー曲線|en|Fermat curve}} {{math|1=''u{{sup|n}}'' + ''v{{sup|n}}'' = ''w{{sup|n}}''}} はそのアフィン形が {{math|1=''x{{sup|n}}'' + ''y{{sup|n}}'' = 1}} で与えられる。この斉次化の過程はより高次元の空間内の曲線に対しても同様に定義できる。
* クロソイド
* アステロイド（星型）
* [[レムニスケート]]（連珠型）
* カージオイド（心臓型）
* 代数螺旋
** アルキメデスの螺旋
** リチュース
* 対数螺旋
 
代数曲線の重要な例として、[[円錐曲線]]は次数 {{math|2}}, [[種数]] {{math|0}} の非特異曲線であり、[[楕円曲線]]は[[数論]]で扱われ[[暗号理論]]に重要な応用を持つ種数 {{math|1}} の非特異曲線である。[[標数]] {{math|0}} の体における代数曲線はほとんどすべての場合に[[複素数]]上で考えるから、代数幾何学における代数曲線は[[実数|実]]曲面と見ることもできる。特に、非特異な複素射影代数曲線は[[リーマン面]]と呼ばれる。
* [[ペアノ曲線]]
* [[コッホ曲線]]
 
==関連項目 注 ==
=== 注釈 ===
{{notelist}}
=== 出典 ===
{{reflist|20em}}
 
== 参考文献 ==
* [[サーペンタイン・ライン]]
* {{cite book|author=Euclid |others= Heath, T. L.(commentary and trans.) |title=Elements|volume= 1|year=1908|publisher= Cambridge| url= {{google books|id=UhgPAAAAIAAJ|plainurl=1}}|ref={{harvid|Heath|1908}}}}
* [[優美]]
* {{cite book|first= E. H |last=Lockwood |title=A Book of Curves |year=1961 |publisher=Cambridge|ref=harv}}
 
== 関連項目 ==
* [[ジョルダンの閉曲線定理]]
{{Div col|20em}}
* [[位置ベクトル]]
* [[陰伏曲線]]
* [[回転数 (数学)]]
* [[曲線あてはめ]]
* {{ill2|曲線に関する主題の一覧|en|List of curves topics}}
* {{ill2|曲線の一覧|en|List of curves}}
* {{ill2|曲線の概形|en|Curve sketching}}
* {{ill2|曲線の画像一覧|en|Gallery of curves}}
* {{ill2|曲線の微分幾何|en|Differential geometry of curves}}
* {{ill2|曲線の向き|en|Curve orientation}}
* {{ill2|曲面の媒介表示|en|Parametric surface}}
* [[曲率]]
* {{ill2|座標曲線|en|Coordinate curve}}
* {{ill2|接触円|en|Osculating circle}}
* [[ベクトル値函数]]
* [[道 (位相幾何学)]]
* [[キルビメータ]]
{{Div col end}}
 
== 外部リンク ==
* [[ループ群]]
{{Commons category|Curves}}
* [[基本群]]
{{Wiktionary}}
*[http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/Curves/Curves.html Famous Curves Index], School of Mathematics and Statistics, University of St Andrews, Scotland
*[http://www.2dcurves.com/ Mathematical curves] A collection of 874 two-dimensional mathematical curves
*[http://faculty.evansville.edu/ck6/Gallery/Introduction.html Gallery of Space Curves Made from Circles, includes animations by Peter Moses]
*[http://faculty.evansville.edu/ck6/GalleryTwo/Introduction2.html Gallery of Bishop Curves and Other Spherical Curves, includes animations by Peter Moses]
* The Encyclopedia of Mathematics article on [http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Line_(curve) lines].
* The Manifold Atlas page on [http://www.map.mpim-bonn.mpg.de/1-manifolds 1-manifolds].
* {{MathWorld|urlname=Curve|title=Curve|author=Insall, Matt; Stover, Christopher; Weisstein, Eric W.}}
* {{PlanetMath|urlname=Curve|title=Curve}}
* {{SpringerEOM|title=Line (curve)|author=Parkhomenko, A.S.|urlname=Line_(curve)}}
* {{SpringerEOM|title=Rectifiable curve|author=Golubov, B.I.|urlname=Rectifiable_curve}}
 
{{Normdaten}}
{{DEFAULTSORT:きよくせん}}
[[Category:曲線|*]]
[[Category:数学に関する記事]]
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