Funzione sinc

In matematica la funzione sinc (o seno cardinale), indicata come $\mathrm {sinc} (x)$ o, più raramente, con $\mathrm {Sa} (x)$ , può essere definita in due modi.

La funzione sinc normalizzata, usata nell'elaborazione numerica dei segnali e nella teoria dell'informazione è definita come:

\mathrm {sinc} (x)={\begin{cases}{\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}&{\text{ se }}x\neq 0\,\\1&{\text{ se }}x=0\end{cases}}

mentre la funzione sinc non normalizzata, da molto tempo usata in parecchi ambiti è:

\mathrm {sinc} (x)={\begin{cases}{\frac {\sin(x)}{x}}&{\text{ se }}x\neq 0\,\\1&{\text{ se }}x=0\end{cases}}

In entrambi i casi il limite della funzione in $0$ è uguale a $1$ , ciò è immediata conseguenza del calcolo del limite notevole e quindi risulta essere una singolarità eliminabile. La sinc è quindi una funzione analitica ovunque.

Proprietà

La funzione sinc non normalizzata assume il valore zero per multipli, non nulli, di $\pi$ ; quella normalizzata per valori interi, sempre diversi da zero.

I massimi e minimi locali per la funzione sinc non-normalizzata si trovano nei punti di intersezione con la funzione coseno. Quindi ${\frac {\sin(\xi )}{\xi }}=\cos(\xi )$ per ogni $\xi$ per cui la derivata di $\sin(\xi ) \over \xi$ è nulla.

La funzione sinc normalizzata può essere rappresentata come prodotto infinito:

{\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}=\prod _{n=1}^{+\infty }\left(1-{\frac {x^{2}}{n^{2}}}\right)

oppure utilizzando la funzione gamma

{\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}={\frac {1}{\Gamma (1+x)\Gamma (1-x)}}

La trasformata di Fourier della funzione sinc normalizzata è uguale a $\mathrm {rect} (f)$

\int _{-\infty }^{+\infty }\mathrm {sinc} (t)e^{-2\pi ift}dt=\mathrm {rect} (f)

dove la funzione rettangolo assume il valore unitario per argomenti tra $-{\frac {1}{2}}$ e ${\frac {1}{2}}$ . Questo integrale di Fourier include il caso speciale