Numero di Harshad

numero intero divisibile per la somma delle sue cifre

Un numero di Harshad in una data base è un numero intero positivo divisibile per la somma delle proprie cifre.

La definizione dei numeri di Harshad è stata data dal matematico indiano Dattatreya Ramachandra Kaprekar. Il termine Harshad deriva dal sanscrito "harṣa" che significa "grande gioia". A volte ci si riferisce a questi numeri anche come numeri di Niven, in onore del matematico Ivan Morton Niven.

Definizione matematica

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Dato un intero positivo   che, espresso in base  , sia di   cifre   (con  ) (si noti che   deve essere zero o un intero positivo inferiore a  ), allora   può essere scritto come:

 

Se esiste un intero   tale che valga la seguente uguaglianza, allora   è un numero di Harshad in base  :

 

Numeri di Harshad in base 10

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I primi numeri di Harshad nella base 10 con più di una cifra sono (sequenza A005349 dell'OEIS):

10, 12, 18, 20, 21, 24, 27, 30, 36, 40, 42, 45, 48, 50, 54, 60, 63, 70, 72, 80, 81, 84, 90, 100, 102, 108, 110, 111, 112, 114, 117, 120, 126, 132, 133, 135, 140, 144, 150, 152, 153, 156, 162, 171, 180, 190, 192, 195, 198, 200, 201, 204.

Numeri di Harshad consecutivi

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Helen Grundman ha dimostrato nel 1994 che, in base 10, non esistono sequenze di numeri di Harshad consecutivi di lunghezza pari o superiore a 21. Ha anche individuato la prima sequenza di 20 numeri consecutivi: si trova oltre  .

Stima della quantità di numeri di Harshad

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Sia   la funzione che restituisce il numero di numeri di Harshad minori o uguali a  :

  • Jean-Marie De Koninck e Nicolas Doyon hanno dimostrato che per qualsiasi  :  .
  • De Koninck, Doyon e Kátai hanno poi dimostrato che, posto  :  .

Quali numeri possono o non possono essere numeri di Harshad?

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  • Ogni numero naturale con notazione  , dove   è una qualsiasi cifra compresa tra 1 e 9, e   è un qualsiasi intero maggiore o uguale a 0, è un numero di Harshad poiché la somma delle sue cifre è pari ad  .[1]
  • Ogni numero naturale con notazione   è un numero di Harshad, infatti  , per cui   è sicuramente divisibile per la somma delle sue cifre, ossia  .[2]
  • Con procedimento analogo si può dimostrare che ogni numero naturale con notazione   di lunghezza   uguale a una qualsiasi potenza naturale di 3, è un numero di Harshad, infatti si può sempre fattorizzare come  .
  • Tutti i fattoriali fino a   compreso sono numeri di Harshad. Il numero   è il primo a non esserlo. Invece lo sono altri fattoriali, ad esempio:  
  • Ogni numero naturale con notazione  , dove   è il numero in base 10 formato da   ripetizioni della cifra 1,  , e   è un qualsiasi intero positivo minore di   e multiplo di  , è un numero di Harshad.(R. D'Amico, 2019).[3]

Numeri di Harshad in base b

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Un numero di Harshad in una generica base   viene definito un numero di  -Harshad (secondo la notazione di Grundman del 1994).

I numeri 1, 2, 4 e 6 sono gli unici numeri a essere numeri di Harshad in qualunque base siano espressi; per questa proprietà sono detti numeri di Harshad completi.

Numeri di b-Harshad consecutivi

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In notazione binaria, c'è un numero infinito di sequenze di 4 numeri di 2-Harshad; in notazione ternaria, c'è un numero infinito di sequenze di 6 numeri di 3-Harshad. Entrambe le dimostrazioni si devono a T. Cai che le pubblicò nel 1996.

Che numeri possono o non possono essere numeri di b-Harshad?

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  • Ogni numero   inferiore alla base   è un numero di b-Harshad. Infatti essendo la sua notazione di una sola cifra, risulta evidentemente essere divisibile per sé stesso.
  • Ogni numero   che sia una potenza intera di   (ossia  ) è un numero di b-Harshad, poiché la sua notazione in base   è   quindi la somma delle cifre di   è sempre uguale a 1 che è sicuramente un divisore di  .
  • Un numero primo   è un numero di b-Harshad solamente se è inferiore o uguale alla base  . La prima regola esposta assicura la validità di questa regola per i casi  . La seconda regola esposta, per il caso   (nell'eventulità che   stesso sia primo). La validità per i casi rimanenti può essere dimostrata per assurdo, infatti se esistesse un numero primo  , superiore alla base   che fosse un numero di  -Harshad, allora la somma delle sue cifre (che è necessariamente inferiore a   e superiore all'unità) sarebbe un divisore di   che, tuttavia, essendo primo ammette come divisori unicamente   e l'unità.

Numeri Harshad-morfici

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Un numero intero   si dice Harshad-morfico (o Niven-morfico) se, per una data base  , è possibile trovare un numero di  -Harshad  , tale che la somma delle sue cifre sia uguale a  , e   sia la parte terminale della notazione di   scritto nella stessa base  .

Ad esempio, 18 è Harshad-morfico in base 10, poiché:

  • 16218 ha 18 come somma delle cifre;
  • 18 è un divisore di 16218 (quindi 16218 è un numero di Harshad);
  • 18 è la parte finale di 16218.

Sandro Boscaro ha dimostrato che in base 10 tutti i numeri interi sono Harshad-morfici tranne 11.

  1. ^ Ad esempio: 3 (n=3, i=0), 100 (n=1, i=2) o 500.000 (n=5, i=5).
  2. ^ Ad esempio: 777= 7*111 = 7*3*37 = 21*37.
  3. ^ Ad esempio:  , dove   e  , è un numero di Harshad; risulta infatti:  .

Bibliografia

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  • H. G. Grundmann, Sequences of consecutive Niven numbers, Fibonacci Quarterly 32 (1994), 174-175
  • Jean-Marie De Koninck and Nicolas Doyon, On the number of Niven numbers up to x, Fibonacci Quarterly Volume 41.5 (November 2003), 431–440
  • Jean-Marie De Koninck, Nicolas Doyon and I. Katái, On the counting function for the Niven numbers, Acta Arithmetica 106 (2003), 265–275
  • Sandro Boscaro, Nivenmorphic Integers, Journal of Recreational Mathematics 28, 3 (1996 - 1997): 201–205!
  • Rosario D'Amico, A method to generate Harshad numbers, in Journal of Mathematical Economics and Finance, vol. 5, n. 1, giugno 2019, p. 19-26.
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