NP-difficile

In teoria della complessità, i problemi NP-difficili o NP-ardui (in inglese NP-hard, da nondetermistic polynomial-time hard problem, "problema difficile non deterministico in tempo polinomiale") sono una classe di problemi che può essere definita informalmente come la classe dei problemi almeno difficili come i più difficili problemi delle classi di complessità P e NP. Più formalmente, un problema $H$ è NP-difficile se e solo se ogni problema NP $L$ è polinomialmente riducibile ad $H$ , ovvero tale che $L\leq _{T}H\;\;\forall L\in {\text{NP}}$ . In altre parole, $L$ deve poter essere risolto in tempo polinomiale da una macchina di Turing dotata di un oracolo per $H$ .^[1] Da questa definizione si ricava che i problemi NP-difficili sono non meno difficili dei problemi NP-completi, che a loro volta sono per definizione i più difficili delle classi P/NP.

La categoria dei problemi NP-difficili, a differenza delle classi P, NP e degli NP-completi, non è limitata per definizione ai soli problemi di decisione; vi appartengono infatti anche problemi di ottimizzazione e di altri generi.

La classe dei problemi NP-difficili ha una grande rilevanza sia teorica che pratica. In pratica, dimostrare che un problema di calcolo è equivalente a un problema notoriamente NP-difficile significa dimostrare che è praticamente impossibile^[2] trovare un modo efficiente di risolverlo, cosa che ha molte implicazioni in informatica. Da un punto di vista teorico, lo studio dei problemi NP-difficili è un elemento essenziale della ricerca su alcuni dei principali problemi aperti della complessità.

Osservazioni

Dato che i problemi NP-completi sono riducibili l'uno all'altro in tempo polinomiale, e tutti i problemi in NP sono riducibili in tempo polinomiale a problemi NP-completi, si ricava che dato un qualunque problema NP-difficile $H$ , tutti i problemi in NP sono riducibili in tempo polinomiale a esso. Di conseguenza, se si trovasse una soluzione in tempo polinomiale a un qualunque problema NP-difficile, questa potrebbe essere utilizzata per risolvere tutti i problemi in NP. Questo dimostrerebbe che $P=NP$ . Sebbene non sia ancora stata trovata una dimostrazione, la comunità scientifica ritiene in generale che P ed NP non coincidano.^[3]
Più precisamente: se $P\neq NP$ , allora i problemi NP-difficili non hanno soluzione polinomiale. Viceversa, se fosse vero che $P=NP$ , da questo non si dedurrebbe la risolubilità polinomiale dei problemi NP-difficili.
Se un problema di ottimizzazione H ha una versione L, dove L è NP-completo, allora H è NP-difficile;
Se H appartiene ad NP, allora H è anche NP-completo perché in tal caso la riduzione polinomiale rispetta i criteri di una riduzione tra problemi NP-completi.

Esempi

Un tipico problema NP-hard, il calcolo del minimo cammino completo in un grafo

Un esempio di problema NP-difficile è il problema di decisione noto come problema delle somme parziali o "SUBSET-SUM", e che corrisponde alla domanda: dato un insieme di interi, c'è almeno un suo sottoinsieme che ha come somma algebrica zero? Un celebre problema di ottimizzazione NP-difficile, che ha anche una fortissima valenza pratica, è quello di trovare il cammino Hamiltoniano che unisce due punti su un grafo.

Ci sono problemi decisionali che sono NP-difficili ma non NP-completi, in questa classe rientrano i problemi che sono in EXPTIME, cioè tutti quei problemi decisionali risolvibili da una macchina deterministica di Turing nel tempo O( $2^{f(n)}$ ), dove f(n) è una funzione polinomiale. Un problema è NP-hard se tutti i problemi in NP sono riducibili polinomialmente ad esso. Un esempio di problema NP-hard è il problema delle formule booleane soddisfacibili SAT). Si può dimostrare che i problemi NP-completi sono polinomialmente riducibili a questo problema (una dimostrazione è nota per esempio per 3sat). Ci sono tuttavia anche esempi di problemi che sono NP-difficili, decidibili, ma non NP-completi; un esempio è il problema del riconoscimento del linguaggio TQBF (True Quantified Boolean Formulas).

Definizione alternativa

Una definizione alternativa di NP-hard che è spesso usata restringe NP-Hard a problemi decisionali e quindi usa la riduzione polinomiale al posto della riduzione di Turing. Così, formalmente un linguaggio L è NP-hard se $\forall L^{\prime }\in \mathbf {NP} ,L^{\prime }\leq _{p}L$ .

Convenzioni sulla nomenclatura della famiglia NP

La nomenclatura dei problemi NP è confusa: i problemi NP-ardui non sono in NP, nonostante vengano etichettati con tale nome. Nonostante questa contraddizione verbale, tale nome è ormai di uso comune. D'altro canto, il sistema di nomenclatura NP- ha un senso più profondo, che fa interesse alla sua classe di complessità generica, denominata anch'essa NP.

NP-completo - identifica problemi che sono completi dentro NP.
NP-difficile - identifica problemi che sono almeno complessi quanto quelli in NP (ma non appartengono necessariamente ad NP);
NP-semplici - identifica problemi che sono al massimo complessi quanto quelli in NP (ma non appartengono necessariamente ad NP);
NP-equivalenti - identifica problemi che sono esattamente equivalenti ad NP, (ma non appartengono necessariamente ad NP);

Note

^ Ovvero dotata di un meccanismo ipotetico che le consente di avere istantaneamente la soluzione del problema $H$ . Se avendo la soluzione di $H$ "gratis" la soluzione di $L$ risulta "poco costosa" (vedi la definizione di tempo polinomiale), se ne ricava che $H$ non può essere significativamente più semplice di $L$ .
^ Uno dei problemi aperti della teoria della complessità è se sia possibile trovare un algoritmo efficiente (formalmente: in tempo polinomiale) per i problemi NP-completi. Di conseguenza, non è teoricamente impossibile che un algoritmo efficiente possa essere trovato per risolvere un problema NP-difficile. Tuttavia, nessun algoritmo del genere è mai stato identificato dalla comunità scientifica, e in generale (pur in assenza di una dimostrazione matematica) si propende per ritenere che un risultato del genere sia impossibile.
^ La domanda "P=NP?" appartiene ai cosiddetti problemi del millennio. Sebbene la tendenza generale della comunità scientifica è a ritenere che la risposta sia "no", l'ipotesi contraria è stata formulata anche da matematici illustri come Kurt Gödel.