Identità di Parseval

In matematica, in particolare in analisi funzionale, l'identità di Parseval o identità di Bessel-Parseval è un importante risultato che riguarda la sommabilità della serie di Fourier di una funzione. Si tratta di un'uguaglianza che adatta il teorema di Pitagora a particolari spazi funzionali a dimensione infinita.

Informalmente, l'identità di Parseval stabilisce che la somma dei quadrati dei coefficienti di Fourier di una funzione è pari all'integrale del quadrato della funzione:

dove i coefficienti di Fourier di sono dati da:

Più in generale, il risultato vale anche se è una funzione quadrato sommabile o appartenente allo spazio L2[−π,π].

Un risultato simile è il teorema di Plancherel, che afferma che l'integrale del quadrato della trasformata di Fourier di una funzione è uguale all'integrale del quadrato della funzione stessa. In una dimensione, per si ha dunque:

L'identità

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Si consideri uno spazio normato separabile  , ad esempio uno spazio di Hilbert, e sia   una base ortonormale rispetto al prodotto interno   definito in  . L'identità di Parseval afferma che per ogni  :

 

dove il prodotto interno   definisce l'n-esimo coefficiente di Fourier di   rispetto alla base  .

Se   è una base soltanto ortogonale:

 

L'identità è una generalizzazione del teorema di Pitagora, il quale stabilisce che la somma dei quadrati delle componenti di un vettore in una base ortonormale è pari al quadrato della lunghezza del vettore stesso.

Se   coincide con   e  , dove  , si ritrova il caso della serie di Fourier mostrato sopra con   che è detto sistema trigonometrico. In particolare, la validità dell'identità di Parseval per un determinato   garantisce la convergenza della rispettiva serie di Fourier a   nella norma di  , e la validità dell'identità per tutti gli   garantisce che   sia un sistema ortonormale completo. Se   è uno spazio di Hilbert cioè comporta data una base ortogonale l'identità di Parseval valga per ogni elemento dello spazio.

L'identità di Parseval e la mutua ortogonalità dei sottospazi generati dai vettori   implicano anche che:

 

cioè che ogni elemento è la somma della sua serie di Fourier. Il teorema di Parseval per le serie di Fourier ne è un caso particolare.

Spazi prehilbertiani

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L'identità di Parseval nella sua veste più generale considera vettori (funzioni) in uno spazio prehilbertiano  . Se   è un insieme ortonormale di  , detto totale nel senso che lo span lineare di   è denso in  , allora:

 

Nel caso in cui   non sia totale l'uguaglianza è sostituita dalla disuguaglianza   e quindi la conclusione coincide con quella della disuguaglianza di Bessel. La dimostrazione di questa versione generale fa uso del teorema di Riesz-Fischer.

Bibliografia

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  • (EN) E. Hewitt, K.R. Stromberg, Real and abstract analysis , Springer (1965)

Voci correlate

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Collegamenti esterni

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