Identità di Parseval

In matematica, in particolare in analisi funzionale, l'identità di Parseval o identità di Bessel-Parseval è un importante risultato che riguarda la sommabilità della serie di Fourier di una funzione. Si tratta di un'uguaglianza che adatta il teorema di Pitagora a particolari spazi funzionali a dimensione infinita.

Informalmente, l'identità di Parseval stabilisce che la somma dei quadrati dei coefficienti di Fourier di una funzione è pari all'integrale del quadrato della funzione:

$\sum _{n=-\infty }^{\infty }|c_{n}|^{2}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }|f(x)|^{2}\,dx$

dove i coefficienti di Fourier $c_{n}$ di $f$ sono dati da:

$c_{n}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)\mathrm {e} ^{-inx}\,dx$

Più in generale, il risultato vale anche se $f$ è una funzione quadrato sommabile o appartenente allo spazio L²[−π,π].

Un risultato simile è il teorema di Plancherel, che afferma che l'integrale del quadrato della trasformata di Fourier di una funzione è uguale all'integrale del quadrato della funzione stessa. In una dimensione, per $f\in L^{2}(\mathbb {R} )$ si ha dunque:

$\int _{-\infty }^{\infty }|{\hat {f}}(\xi )|^{2}\,d\xi =\int _{-\infty }^{\infty }|f(x)|^{2}\,dx$

L'identità

Si consideri uno spazio normato separabile $H$, ad esempio uno spazio di Hilbert, e sia $B=(e_{n})_{n}$ una base ortonormale rispetto al prodotto interno $\langle ,\rangle$ definito in $H$. L'identità di Parseval afferma che per ogni $x\in H$:

$\|x\|^{2}=\sum _{n}|\langle x,e_{n}\rangle |^{2}$

dove il prodotto interno $\langle x,e_{n}\rangle$ definisce l'n-esimo coefficiente di Fourier di $x$ rispetto alla base $B$.

Se $e_{n}$ è una base soltanto ortogonale:

$\|x\|^{2}=\sum _{n}\left|{\frac {\langle x,e_{n}\rangle }{\langle e_{n},e_{n}\rangle }}\right|^{2}\|e_{n}\|^{2}$

L'identità è una generalizzazione del teorema di Pitagora, il quale stabilisce che la somma dei quadrati delle componenti di un vettore in una base ortonormale è pari al quadrato della lunghezza del vettore stesso.

Se $H$ coincide con $L^{2}[-\pi ,\pi ]$ e $e_{n}=e^{-inx}$, dove $n\in \mathbb {Z}$, si ritrova il caso della serie di Fourier mostrato sopra con $e_{n}$ che è detto sistema trigonometrico. In particolare, la validità dell'identità di Parseval per un determinato $x\in H$ garantisce la convergenza della rispettiva serie di Fourier a $x$ nella norma di $H$, e la validità dell'identità per tutti gli $x\in H$ garantisce che $e_{n}$ sia un sistema ortonormale completo. Se $H$ è uno spazio di Hilbert cioè comporta data una base ortogonale l'identità di Parseval valga per ogni elemento dello spazio.

L'identità di Parseval e la mutua ortogonalità dei sottospazi generati dai vettori $e_{n}$ implicano anche che:

$x=\sum _{n=1}^{\infty }\langle {}x,e_{n}\rangle {}e_{n}$

cioè che ogni elemento è la somma della sua serie di Fourier. Il teorema di Parseval per le serie di Fourier ne è un caso particolare.

Spazi prehilbertiani

L'identità di Parseval nella sua veste più generale considera vettori (funzioni) in uno spazio prehilbertiano $H$. Se $B$ è un insieme ortonormale di $H$, detto totale nel senso che lo span lineare di $B$ è denso in $H$, allora:

$\|x\|^{2}=\langle x,x\rangle =\sum _{e\in B}\left|\langle x,e\rangle \right|^{2}$

Nel caso in cui $B$ non sia totale l'uguaglianza è sostituita dalla disuguaglianza $\geq$ e quindi la conclusione coincide con quella della disuguaglianza di Bessel. La dimostrazione di questa versione generale fa uso del teorema di Riesz-Fischer.

Bibliografia

• (EN) E. Hewitt, K.R. Stromberg, Real and abstract analysis , Springer (1965)

Voci correlate

• Disuguaglianza di Bessel
• Serie di Fourier
• Teorema di Parseval
• Teorema di Pitagora
• Teorema di Plancherel
• Trasformata di Fourier

Collegamenti esterni

• (EN) L.D. Kudryavtsev, Parseval equality, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.