Disuguaglianza di Ono
In matematica, la disuguaglianza di Ono è un teorema sui triangoli. Esso afferma che per ogni triangolo acutangolo di lati a, b e c e superficie A vale la seguente disuguaglianza:
L'uguaglianza vale se il triangolo è equilatero.
T. Ono propose questa disuguaglianza nel 1914, chiedendo se fosse vera per qualunque triangolo. Questa congettura fu smentita da G. Quijano nel 1915, ma fu dimostrata per i triangoli acuti (incluso quello rettangolo) da F. Balitrand nel 1916.
Un semplice controesempio alla congettura di Ono è a = 3/4, b = 1/2, c = 1.
Dimostrazione
modificaSupponiamo che il triangolo non sia ottusangolo, quindi abbia tutti gli angoli minori o uguali all'angolo retto. Sia γ l'angolo opposto al lato . Per il teorema del coseno a² +b² − c² = 2ab cosγ. Per l'ipotesi, il coseno di γ è positivo (o al più nullo), e quindi a² +b² − c² ≥ 0. Analogamente si dimostra che b² +c² − a² ≥ 0 e c² +a² − b² ≥ 0.
Sia la funzione
Essa è sempre non-negativa ed è uguale a 0 solo per .
Applicando la formula di Erone e svolgendo i calcoli si verifica che:
con l'uguaglianza se e solo se . Ciò conclude la dimostrazione.
Bibliografia
modifica- F. Balitrand, Problem 4417, in Intermed. Math., vol. 23, 1916, pp. 86–87.
- T. Ono, Problem 4417, in Intermed. Math., vol. 21, 1914, p. 146.
- G. Quijano, Problem 4417, in Intermed. Math., vol. 22, 1915, p. 66.
- Dragoslav S. Mitrinović, Josip E. Pečarić; Vladimir Volenec, Recent Advances in Geometric Inequalities, Kluwer Academic Publishers, 1989, pp. 240–241, ISBN 90-277-2565-9.
Collegamenti esterni
modifica- (EN) La disuguaglianza di Ono, su MathWorld.