Congettura di Agoh-Giuga

In teoria dei numeri, la congettura di Agoh-Giuga, correlata ai numeri di Bernoulli B_k, afferma che p è un numero primo se e solo se

$pB_{p-1}\equiv -1{\pmod {p}}.$

Questa formulazione della congettura è dovuta a Takashi Agoh (1990); una formulazione che (come è stato dimostrato) è ad essa equivalente fu formulata nel 1950 da Giuseppe Giuga, e afferma che p è primo se e solo se

$1^{p-1}+2^{p-1}+\cdots +(p-1)^{p-1}\equiv -1{\pmod {p}}.$

È una semplice conseguenza del Teorema di Eulero-Fermat che un numero primo $p$ soddisfa quest'ultima eguaglianza. Un eventuale controesempio alla congettura sarebbe dunque un numero $n$, non primo, per cui valga

$1^{n-1}+2^{n-1}+\cdots +(n-1)^{n-1}\equiv -1{\pmod {n}}.$

Giuga dimostrò che un eventuale controesempio $n$ dovrebbe essere necessariamente un numero di Carmichael, divisibile per almeno 8 fattori primi distinti, e maggiore di 10¹⁰⁰⁰. Lavori successivi di Bedocchi, Borwein e altri, e Sorini hanno verificato la congettura per gli n minori di 10³⁶⁰⁶⁷.

Bibliografia

• Agoh T. "On Giuga's conjecture" Manuscripta Math., 87(4), 501-510 (1995).
• Bedocchi E. "Nota ad una congettura sui numeri primi", Riv. Mat. Univ. Parma, (4) 11 (1985), 229-236.
• Borwein D., Borwein J. M., Borwein P. B., and Girgensohn R. "Giuga's Conjecture on Primality", Amer. Math. Monthly, 103, 40-50, (1996). pdf
• Borwein J.M., Skerritt M. and Maitland C. "Computation of a lower bound to Giuga's primality conjecture." Integers 13 (2013).
• Giuga G. "Su una presumibile proprietà caratteristica dei numeri primi", Ist. Lombardo Sci. Lett. Rend. A, 83, 511-528 (1950).
• Sorini L. "Un Metodo Euristico per la Soluzione della Congettura di Giuga", Facoltà di Economia, Università degli Studi di Urbino Carlo Bo, Quaderni di Economia, Matematica e Statistica, n. 68, Ottobre (2001) ISSN 1720-9668.