Condizione di Palais-Smale

In matematica, la condizione di Palais-Smale o condizione di compattezza di Palais-Smale è un'ipotesi utilizzata in molti teoremi di calcolo delle variazioni, utile per garantire l'esistenza di punti critici di certi funzionali. Prende il nome da Richard Palais e Stephen Smale.

Formulazione forte

Un funzionale continuo Fréchet differenziabile $F\in C^{1}(H,\mathbb {R} )$ da uno spazio di Hilbert $H$ ai reali soddisfa la condizione di Palais-Smale se ogni successione $\{u_{k}\}_{k=1}^{\infty }\subset H$ tale che $\{F[u_{k}]\}_{k=1}^{\infty }$ è limitato e $F'[u_{k}]\rightarrow 0$ in $H'$ (spazio duale di $H$) ammette una sottosuccessione convergente.

Formulazione debole

Sia $X$ uno spazio di Banach e sia $\Phi \colon X\to \mathbb {R}$ un funzionale Gâteaux differenziabile. Allora $\Phi$ soddisfa la condizione debole di Palais-Smale se per ogni successione $\{x_{n}\}\subset X$ tale che:

• $\sup |\Phi (x_{n})|<\infty$
• $\Phi '(x_{n})\to 0$ in $X^{*}$
• $\Phi (x_{n})\neq 0$ per tutti gli $n\in \mathbb {N}$

esiste un punto critico ${\overline {x}}\in X$ di $\Phi$ tale che i limiti superiore ed inferiore di $\Phi (x_{n})$ soddisfano:

$\liminf \Phi (x_{n})\leq \Phi ({\overline {x}})\leq \limsup \Phi (x_{n})$

Bibliografia

• Lawrence C. Evans, Partial Differential Equations, Providence, Rhode Island, American Mathematical Society, 1998, ISBN 0-8218-0772-2.

Voci correlate

• Derivata di Fréchet
• Punto critico (matematica)