Bipolo

Un bipolo, in elettrotecnica, è un elemento circuitale dotato di due morsetti che gli consentono di interagire con i fenomeni elettromagnetici esterni e il cui comportamento agli effetti esterni è completamente definito dal legame costitutivo tra tensione e corrente.

In automatica è assimilabile a un modello black box il cui comportamento è definito da una funzione di trasferimento.

Le proprietà fondamentali del bipolo sono due: la tensione tra i due morsetti del bipolo è indipendente dal cammino percorso e la corrente entrante che lo attraversa è, a meno del segno, uguale a quella uscente.

Definizione

Condizioni

La descrizione del campo elettromagnetico è basata sulle equazioni di Maxwell e in particolare la sua dinamica è descritta dalla legge di Faraday e dalla legge di Ampère-Maxwell, rispettivamente:^[1]

$\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\qquad \nabla \times \mathbf {H} =\mathbf {J} _{f}+{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}$

Nel caso di regime stazionario, ovvero a flusso magnetico e flusso elettrico costanti come in corrente continua, le correnti dovute alla variazione del campo elettromagnetico e alla polarizzazione elettrica e magnetica sono nulle quindi le due equazioni possono essere semplificate come segue:^[2]

$\nabla \times \mathbf {E} =0\qquad \qquad \nabla \times \mathbf {H} =\mathbf {J} _{f}$

Queste semplificazioni possono essere ritenute valide anche nel caso sia verificata la condizione di Max Abraham, in un regime variabile infatti, se la lunghezza d'onda del campo elettromagnetico $\lambda$ è molto superiore alle dimensioni del sistema elettromagnetico $\lambda \gg L$ allora il tempo che il fronte d'onda impiega ad attraversare tutto il sistema può essere considerato nullo e di conseguenza il regime variabile in esame può essere considerato quasi stazionario, semplificazione che consente l'utilizzo delle equazioni di Maxwell trascurando le variabili spaziali e ottenere quindi un modello a parametri concentrati.^[3] Considerato che la corrente alternata è distribuita in Europa, Asia e Africa alla frequenza di 50 Hz (in America e parte del Giappone a 60 Hz) allora la condizione di Max Abraham è rispettata per sistemi con dimensioni molto inferiori a una lunghezza d'onda di circa 6000 km, di conseguenza nelle linee di trasmissione è necessario adottare un modello a parametri distribuiti.^[4]

Bipolo

Bipolo in regime quasi stazionario in cui è evidenziata la superficie chiusa impermeabile ai fenomeni elettromagnetici e la porta elettrica formata dai conduttori con estremi la coppia ordinata di morsetti. Sulla porta elettrica sono anche evidenziate le due superfici di livello

V_{A}

e

V_{B}

e la tensione tra i morsetti

V_{AB}

sul percorso

\Gamma _{AB}

, inoltre è evidenziata la corrente entrante

I_{A}

e uscente

I_{B}

con le relative superfici orientate

\mathbf {S} _{A}

e

\mathbf {S} _{B}

.

Un bipolo è un elemento costituito dall'unione tra una superficie chiusa e una porta elettrica formata da due conduttori aventi per estremi una coppia ordinata di morsetti $\{A,B\}$ in regime quasi stazionario. Da questa definizione derivano le due proprietà fondamentali del bipolo: la tensione tra i due morsetti del bipolo è indipendente dal cammino percorso e la corrente entrante che lo attraversa è uguale in modulo a quella uscente.^[5]

In regime quasi stazionario il campo elettrico $\mathbf {E}$ è un campo vettoriale conservativo infatti $\nabla \times \mathbf {E} =0$ ed è quindi esprimibile come gradiente di un potenziale scalare, il potenziale elettrico: $\mathbf {E} =-\nabla V$ . In forma globale si ha allora che l'integrale tra $\{A,B\}$ sul cammino $\Gamma _{AB}$ per il teorema del gradiente è:

$\int _{\Gamma _{AB}}\mathbf {E} \cdot {\mathrm {d} \mathbf {l} }=\int _{A}^{B}-\nabla V\cdot {\mathrm {d} \mathbf {l} }=V_{A}-V_{B}$

La tensione $V_{AB}$ ai morsetti del bipolo allora è pari alla differenza di potenziale elettrico tra le due superfici di livello passanti per i morsetti $\{A,B\}$ ed è indipendente dal cammino di integrazione $\Gamma _{AB}$ .^[6]

In regime quasi stazionario l'unica corrente presente è quella di conduzione che è determinata dal campo di densità di corrente delle cariche libere $\mathbf {J} _{f}$ . Si ottiene allora che la corrente di conduzione $I_{A}$ entrante nel morsetto $A$ con sezione $\mathbf {S} _{A}$ di superficie $S_{A}$ e orientamento normale è pari a meno del segno alla corrente $I_{B}$ uscente dal morsetto $B$ di sezione $\mathbf {S} _{B}$ :^[6]

$I_{A}=\int _{S_{A}}{\mathbf {J} _{f}}\cdot {\mathrm {d} \mathbf {S} }=-\int _{S_{B}}{\mathbf {J} _{f}}\cdot {\mathrm {d} \mathbf {S} }=-I_{B}$

Siccome la superficie chiusa del bipolo è impermeabile a ogni fenomeno elettromagnetico allora agli effetti esterni questo è completamente identificato dalla conoscenza della tensione e della corrente ai suoi morsetti, unici punti in cui il bipolo può comunicare attraverso fenomeni elettromagnetici con l'esterno.^[6]

Legame costitutivo

Il comportamento agli effetti esterni di un bipolo è completamente definito dal legame costitutivo che intercorre tra le funzioni rispetto al tempo di tensione $v(t)$ e corrente $i(t)$ . Se il legame è definito da:

f(V,I)=0

allora il bipolo si dice stazionario. Se invece la caratteristica tensione-corrente è della forma:

f(v(t),i(t),d/dt,\int dt)=0

cioè le grandezze variano nel tempo e appaiono derivate e integrali delle tensioni e delle correnti, allora il bipolo è detto dinamico. la caratteristica tensione-corrente del bipolo è in genere rappresentabile con una o più curve nel grafico V-I. Il bipolo stazionario ha una sola caratteristica mentre il bipolo dinamico ne ha infinite a seconda del regime di funzionamento: per esempio imponendo una certa corrente se ne calcola la tensione ai capi (bipolo controllato in corrente). Un altro modo di esprimere la caratteristica è:

v=f(i)

oppure

i=g(v)

Bipolo lineare

Ebbene a seconda della caratteristica il bipolo è lineare se la caratteristica è lineare cioè della forma (per esempio):

v=k\cdot i

Che su un diagramma tensione-corrente rappresenta appunto, una retta passante per l'origine.

Valgono inoltre le proprietà dell'additività e dell'omogeneità (proprietà degli omomorfismi):

f(i_{1}+i_{2})=f(i_{1})+f(i_{2})

f(\alpha i)=\alpha f(i)

con $\alpha \in \mathbb {R}$ .

Analisi termodinamica

Un bipolo è assimilabile a un sistema termodinamico che scambia lavoro elettrico $L_{e}$ con l'esterno tramite i suoi morsetti, mentre tramite la sua superficie chiusa scambia lavoro non elettrico $L$ in modo reversibile e calore $Q$ . Secondo il primo principio della termodinamica allora definite l'energia potenziale elettrica $U_{e}$ e l'energia magnetica $U_{m}$ accumulate nel bipolo si ha che:^[7]

$\delta {L_{e}}=\delta Q+\mathrm {d} U_{e}+\mathrm {d} U_{m}-\delta {L}$

Definita la potenza elettrica $p=vi$ allora il lavoro elettrico scambiato da un bipolo è $\delta {L_{e}}=p\ \mathrm {d} t=vi\ \mathrm {d} t$ .

Bipoli perfetti

Bipolo resistivo

Bipolo che trasforma irreversibilmente il lavoro elettrico in calore.

$\delta {L_{e}}=\delta Q$

Il componente elettrico corrispondente è il resistore. Si tratta di un bipolo lineare e passivo in quanto la sua potenza è sempre assorbita. L'energia del resistore è trasformata in calore irreversibilmente per effetto Joule. L'equazione costitutiva che caratterizza un resistore attraversato da una corrente elettrica i e sottoposto ad una tensione elettrica v risulta essere:

$v=Ri$

Bipolo capacitivo

Bipolo che trasforma reversibilmente il lavoro elettrico in energia potenziale elettrica.

$\delta {L_{e}}=\mathrm {d} U_{e}$

Il componente elettrico corrispondente è il condensatore. Tra i bipoli dinamici vi sono i condensatori con caratteristica dinamica:

$i(t)=C\cdot {\frac {dv(t)}{dt}}$

dove $C$ è la capacità. Esso è anche un elemento dotato di memoria poiché la sua caratteristica è univocamente determinata solo se si conosce il valore iniziale al tempo $t_{0}$ della tensione. Inoltre il condensatore non è un bipolo strettamente passivo infatti può anche essere $p(t)=0$ . In tal caso il bipolo è conservativo, esso può immagazzinare energia e rilasciarla completamente (e idealmente).

Bipolo induttivo

Bipolo che trasforma reversibilmente il lavoro elettrico in energia magnetica e il componente elettrico corrispondente è l'induttore.

$\delta {L_{e}}=\mathrm {d} U_{m}$

Il componente elettrico corrispondente è l'induttore. Tra i bipoli dinamici vi sono gli induttori con caratteristica dinamica:

$v(t)=L\cdot {\frac {di(t)}{dt}}$

dove $L$ è l'induttanza. Esso è anche un elemento dotato di memoria poiché la sua caratteristica è univocamente determinata solo se si conosce il valore iniziale al tempo $t_{0}$ della corrente. Inoltre l'induttore non è un bipolo strettamente passivo infatti può anche essere $p(t)=0$ . In tal caso il bipolo è conservativo, esso può immagazzinare energia e rilasciarla completamente (e idealmente).

Bipolo convertitore

Bipolo che trasforma reversibilmente lavoro elettrico in lavoro non elettrico.

$\delta {L_{e}}=-\delta L$

Il componente elettrico corrispondente è l'utilizzatore nel caso di lavoro elettrico assorbito o il generatore nel caso di lavoro elettrico generato. Gli elementi che forniscono energia sotto forma di tensione sono i generatori: in particolare il generatore di tensione ideale e il generatore di corrente ideale. Essi sono detti ideali perché teoricamente possono fornire tensioni o correnti indefinitamente nel tempo e senza dissipazione. In realtà questo non è mai vero. Le caratteristiche del generatore sono lineari e quindi il bipolo generatore è lineare, inoltre essi possono fornire energia o anche dissiparla e quindi sono bipoli attivi ma anche passivi.

Bipoli attivi e passivi

A seconda della trasformazione energetica o in generale dell'energia associata ad un bipolo, questo può essere attivo o passivo. Consideriamo un bipolo e calcoliamo l'energia tra due istanti di tempo $t_{0},t$ :

\Delta W=\int _{t_{0}}^{t}p(t)\,dt

ebbene se tale energia è sempre positiva data la convenzione dell'utilizzatore: $\Delta W\geqslant 0$ allora il bipolo è detto passivo (strettamente passivo se $\Delta W>0$ ), cioè il bipolo assorbe energia. Viceversa se $\Delta W\leqslant 0$ allora il bipolo eroga (ossia attua un assorbimento negativo di energia) ed è detto attivo (strettamente attivo se $\Delta W<0$ ). Il caso $\Delta W=0$ è un caso particolare che implica che il bipolo conserva l'energia.