Auto similarità
In matematica, un oggetto auto-simile è esattamente o approssimativamente simile a una sua parte (cioè una o più delle sue parti è internamente omotetica al tutto). Molti oggetti nel mondo reale, come ad esempio le coste, sono statisticamente auto-simili: parti di questi oggetti mostrano le stesse proprietà statistiche a molte scale[1]. L'auto-similarità è una proprietà tipica dei frattali.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/65/Kochsim.gif)
L'invarianza di scala è una forma esatta di auto-similarità, dove ad ogni ingrandimento c'è una parte dell'oggetto che è simile al tutto. Per esempio, un lato del fiocco di Koch è sia simmetrico che invariante di scala: può essere ingrandito di un fattore 3 senza cambiare forma.
Definizione
modificaUno spazio topologico compatto è auto-simile se esiste un insieme finito di indici ed un insieme di omeomorfismi non suriettivi per cui
Se , diciamo che è auto-simile se è il solo sottoinsieme non-vuoto di tale che l'equazione precedente vale per . Una struttura auto-simile è formata dalla terna
Gli omeomorfismi possono essere iterati, dando origine a un sistema di funzioni iterate. La composizione di funzioni crea la struttura algebrica di monoide. Quando l'insieme ha solo due elementi, il monoide è detto monoide diadico. Il monoide diadico può essere rappresentato come un albero binario infinito; più in generale, se l'insieme ha elementi, allora il monoide può essere rappresentato come un albero con numero di coordinazione
Gli automorfismi di un monoide diadico formano il gruppo modulare. Gli automorfismi possono essere rappresentati come le rotazioni iperboliche dell'albero binario.
Esempi
modificaL'insieme di Mandelbrot è auto-simile attorno ai cosiddetti punti di Misiurewicz.
L'auto-similarità ha importanti conseguenze nel progetto di reti di computer, poiché il tipico traffico sulla rete ha proprietà di auto-similarità. Ad esempio, nell'ingegneria delle telecomunicazioni, le sequenze di dati in reti a commutazione di pacchetto sembrano essere auto-simili[2]. Questa proprietà significa che semplici modelli che utilizzano una distribuzione di Poisson sono inadeguati e le reti progettate senza considerare l'auto-similarità hanno grandi probabilità di funzionare in modo inaspettato.
Le piante sono oggetti auto-simili presenti in natura. L'immagine a fianco è un esempio, benché generato al computer, di auto-similarità. Le felci reali, tuttavia, sono estremamente vicine all'auto-similarità reale.
La teoria del 1941 sulla turbolenza sviluppata da Kolmogorov si basa sull'assunto che il campo di velocità di un fluido turbolento possieda auto-similarità (in senso statistico). Il fatto che tale teoria riesca a fornire certe previsioni corrette, mentre altre risultano errate, indica che tale assunzione è valida solo in prima approssimazione.[3]
Note
modifica- ^ Benoît Mandelbrot, How Long Is the Coast of Britain? Statistical Self-Similarity and Fractional Dimension
- ^ Leland et al. "On the self-similar nature of Ethernet traffic", IEEE/ACM Transactions on Networking, Volume 2, Issue 1 (February 1994)
- ^ Frisch, U., Turbulence: The Legacy of A. N. Kolmogorov, Cambridge University Press, 1995.
Altri progetti
modifica- Wikimedia Commons contiene immagini o altri file su auto similarità
Collegamenti esterni
modifica- "Copperplate Chevrons" — Zoom di un frattale auto-simile