Numero di Skewes
Nella teoria dei numeri, il termine numero di Skewes indica il più piccolo numero naturale (che si è rivelato essere estremamente grande), per il quale, indicando con x tale numero, vale l'espressione
- π {x} − Li {x} ≥ 0
dove π (x) è la funzione enumerativa dei primi (cioè il numero di primi esistenti fino al numero x), e Li (x) è la funzione logaritmo integrale.
In pratica si tratta del più piccolo numero per il quale π (x) risulta maggiore di Li (x).
L'esistenza di tale numero fu ipotizzata dal matematico sudafricano Stanley Skewes nel 1932, ma solo l'anno successivo John Littlewood, il maestro di Skewes, dimostrò che tale numero esiste (e dunque, un tale primo numero). Littlewood provò anche che il segno della differenza π (x) – Li (x) cambia infinitamente spesso. Che tale numero esistesse non era affatto chiaro; infatti, l'evidenza numerica allora disponibile sembrava suggerire che π(x) fosse sempre minore di Li(x). La prova di Littlewood, comunque, non fornì un esempio concreto del numero x; non era dunque un risultato costruttivo.
Skewes, nel 1933, dimostrò che, assumendo che l'ipotesi di Riemann fosse vera, esiste un numero x che viola la relazione π (x) < Li (x), inferiore a
(chiamato talvolta primo numero di Skewes), che è approssimativamente uguale a
Nel 1955, senza l'assunzione dell'ipotesi di Riemann, dimostrò che deve esistere un valore di x inferiore a
(chiamato talvolta secondo numero di Skewes).
Questi (enormi) estremi superiori sono stati in seguito ridotti considerevolmente. Senza assumere come vera l'ipotesi di Riemann, Herman te Riele nel 1987 trovò un estremo superiore di
- 7 × 10370
Una approssimazione migliore è 1,39822 × 10316, scoperta da Bays e Hudson (2000). Il miglior valore per il primo attraversamento di zero è ora 1,397162914 × 10316 (Demichel 2005). Questo è, con un intervallo di confidenza molto elevato, il primo caso per cui si verifica π (x) > Li (x).
Note
- ^ Si tratta di un numero con cifre (vale a dire 8,85 milioni di miliardi di miliardi di miliardi di cifre). Scrivendo per esteso tale numero usando un comune blocco note a quadretti e inserendo una cifra per quadretto, si può calcolare che servirebbe un volume di carta di 1,78 x 1014 km3, pari al volume di un cubo con lato di circa 121.000 km.
Bibliografia
- J.E. Littlewood: "Sur la distribution des nombres premiers", Comptes Rendus 158 (1914), pages 1869-1872
- S. Skewes: "On the difference π(x) − Li(x)", Journal of the London Mathematical Society 8 (1933), pages 277-283
- S. Skewes: "On the difference π(x) − Li(x) (II)", Proceedings of the London Mathematical Society 5 (1955), pages 48-70
- H.J.J. te Riele: "On the difference π(x) − Li(x)", Math. Comp. 48 (1987), pages 323-328
