Numero di Skewes

Nella teoria dei numeri, il termine numero di Skewes può riferirsi a più di uno dei numeri interi estremamente grandi usati dal matematico sudafricano Samuel Skewes.

Per definizione, il numero è il più piccolo numero naturale x per cui

π(x) − Li(x) ≥ 0

dove π(x) è la funzione enumerativa dei primi e Li(x) è la funzione integrale logaritmico.

John Edensor Littlewood, il maestro di Skewes, dimostrò nel 1914 che tale numero esiste (e dunque, un tale primo numero); e provò anche che il segno della differenza π(x) − Li(x) cambia infinitamente spesso. Che tale numero esistesse non era affatto chiaro; infatti, l'evidenza numerica allora disponibile sembrava suggerire che π(x) fosse sempre minore di Li(x). La prova di Littlewood, comunque, non fornì un esempio concreto del numero x; non era dunque un risultato costruttivo.

Skewes, nel 1933, dimostrò che, assumendo che l'ipotesi di Riemann fosse vera, esiste un numero x che viola la relazione π(x) < Li(x) inferiore a

$e^{e^{e^{79}}}$

(ora chiamato talvolta primo numero di Skewes'), che è approssimativamente uguale a

$10^{10^{8.85\times 10^{33}}}$.

Nel 1955, senza l'assunzione dell'ipotesi di Riemann, dimostrò che deve esistere un valore di x inferiore a

$10^{10^{10^{1000}}}$

(chiamato talvolta secondo numero di Skewes).

Questi (enormi) estremi superiori, da allora, sono stati ridotti considerevolmente. Senza assumere l'ipotesi di Riemann, H. J. J. te Riele nel 1987 trovò un estremo superiore di

7 × 10³⁷⁰.

Una approssimazione migliore era 1.39822 × 10³¹⁶ scoperta da Bays e Hudson (2000). Il miglior valore per il primo attraversamento di zero è ora 1.397162914 × 10³¹⁶ (Demichel 2005). Questo è, con un intervallo di confidenza molto elevato, il primo caso per cui si verifica Li(x) < π(x) li crossover pi.pdf.

Skewes' task was to make Littlewood's existence proof effective: exhibiting some concrete upper bound for the first sign change. According to George Kreisel, this was at the time not considered obvious even in principle. The approach called unwinding in proof theory looks directly at proofs and their structure to produce bounds. The other way, more often seen in practice in number theory, changes proof structure enough so that absolute constants can be made more explicit.

Skewes's result was celebrated partly because the proof structure used excluded middle, which is not a priori a constructive argument (it divides into two cases, and it isn't computable in which case one is working).

Although both Skewes numbers are big compared to most numbers encountered in mathematical proofs, neither is anywhere near as big as Graham's number.

Referenze

• J.E. Littlewood: "Sur la distribution des nombres premiers", Comptes Rendus 158 (1914), pages 1869-1872
• S. Skewes: "On the difference π(x) − Li(x)", Journal of the London Mathematical Society 8 (1933), pages 277-283
• S. Skewes: "On the difference π(x) − Li(x) (II)", Proceedings of the London Mathematical Society 5 (1955), pages 48-70
• H.J.J. te Riele: "On the difference π(x) − Li(x)", Math. Comp. 48 (1987), pages 323-328