Logica proposizionale: differenze tra le versioni
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La '''logica proposizionale''' (o '''enunciativa''') è un [[linguaggio formale]] con una semplice ''struttura sintattica'', basata fondamentalmente su proposizioni elementari ([[Atomo (logica)|atomi]]) e su [[connettivi logici]] di tipo vero-funzionale, che restituiscono il [[valore di verità]] di una proposizione in base al valore di verità delle proposizioni connesse (solitamente noti come [[Algebra di Boole#AND|AND]], [[Algebra di Boole#OR|OR]], [[Algebra di Boole#NOT|NOT]]...).
La ''semantica'' della logica proposizionale definisce il significato dei simboli e di qualsiasi proposizione che rispetti le regole sintattiche del linguaggio, basandosi sui valori di verità associati agli [[atomo|atomi]]. Data una interpretazione (o modello) di una proposizione (in generale di un insieme di proposizioni), e cioè una associazione tra le proposizioni elementari e le realtà rappresentate, possiamo generare un insieme infinito di proposizioni con significato definito che riguardino quella realtà. Ciascuna proposizione si riferisce quindi a uno o più oggetti della realtà rappresentata (anche astratta
==Sintassi==
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La definizione della struttura delle frasi (o sintassi) della logica proposizionale si fonda su due componenti:
*un ''alfabeto'' di simboli
*un insieme di sequenze di simboli (un [[Linguaggio formale
===Alfabeto===
L'alfabeto della logica proposizionale è costituito da:
*Un [[insieme numerabile]] di simboli di proposizione:
*I simboli dei [[connettivo logico|connettivi logici]]:
*Le parentesi: <math>(
===Formule ben formate===
Le espressioni "sintatticamente corrette" della logica proposizionale (quelle che dovrebbero rappresentare degli enunciati dotati di senso in modo non ambiguo) sono chiamate '''f'''ormule '''b'''en '''f'''ormate, brevemente fbf (spesso in letteratura si trova anche ''wff'', dall'inglese "well-formed formulas"), e sono definite mediante la seguente [[definizione ricorsiva]]:
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<div style="float:center; width:85%; padding:15px; background: #f5f8ff; border: 1px solid blue; margin-left:8px; margin-right:8px;margin-bottom:15px; text-align:left">
#un simbolo di proposizione è una fbf
#se
#se
#niente altro è una fbf
</div>
Sono esempi di ''formule ben formate'':
*
*
*
*
Sono esempi di ''non formule'' (<math>p</math> e <math>q</math> sono simboli di proposizione):
*<math>p \wedge (( q </math>
*<math>p \wedge \vee q</math>
Stabilire il seguente ordine di precedenza dei connettivi logici, come accade per la moltiplicazione rispetto all'addizione, permette un utilizzo minore delle parentesi:
*<math>\neg</math>, <math>\wedge</math>, <math>\vee</math>, <math>\to</math>, <math>\leftrightarrow</math>
Per esempio <math>p \wedge \neg q</math> è la formula <math>(p \wedge (\neg q))</math>.
Inoltre, si considerano i connettivi logici associativi a sinistra [ ''p'' <math>\wedge</math> q <math>\wedge</math> r viene reinterpretato come ((''p'' <math>\wedge</math> q) <math>\wedge</math> r) ].
Le regole sopra esposte definiscono il [[Linguaggio formale
La grammatica della logica proposizionale scritta in [[Backus-Naur Form|BNF]] è la seguente:
:f := l e L | (NOT f) | (f1 AND f2) | (f1 OR f2) | (f1 -> f2) | (f1 <-> f2)
==Semantica==
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</div>
Tali condizioni rispecchiano il significato che si vuole attribuire ai simboli associati ai [[connettivi logici]] e si possono riassumere mediante la seguente [[tavola di verità]]:
{| class="wikitable"
|-
|- align=center
|
|- align=center
|
|- align=center
|
|- align=center
|
|}
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</div>
Il [[teorema di compattezza (logica matematica)|teorema di compattezza]] stabilisce che un insieme di fbf ''S'' è soddisfacibile se e solo se ogni suo sottoinsieme finito è soddisfacibile.
Con altri termini è possibile dare le seguenti definizioni.
Una formula ben
* '''soddisfacibile''' se esiste una interpretazione I di A in cui A è vera; in questo caso I si dice modello di A.
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== Bibliografia ==
*{{cita libro|Dirk|van Dalen|Logic and Structure| |Springer|Berlin|anno=2013|capitolo=Propositional Logic
* Sergio Galvan, ''Logica dei predicati'', EDUCatt, Milano, 2004.
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* [[Linguaggio del primo ordine]]
*[[STRIPS]]
== Altri progetti ==
{{Interprogetto|preposizione=sulla}}
== Collegamenti esterni ==
* {{Collegamenti esterni}}
* {{FOLDOC|propositional logic|propositional logic}}
{{Controllo di autorità}}
{{Portale|matematica}}
[[Categoria:Logica
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