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Logica proposizionale: differenze tra le versioni

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La '''logica proposizionale''' (o '''enunciativa''') è un [[linguaggio formale]] con una semplice ''struttura sintattica'', basata fondamentalmente su proposizioni elementari ([[Atomo (logica)|atomi]]) e su [[connettivi logici]] di tipo vero-funzionale, che restituiscono il [[valore di verità]] di una proposizione in base al valore di verità delle proposizioni connesse (solitamente noti come [[Algebra di Boole#AND|AND]], [[Algebra di Boole#OR|OR]], [[Algebra di Boole#NOT|NOT]]...).
La ''semantica'' della logica proposizionale definisce il significato dei simboli e di qualsiasi proposizione che rispetti le regole sintattiche del linguaggio, basandosi sui valori di verità associati agli [[atomo|atomi]]. Data una interpretazione (o modello) di una proposizione (in generale di un insieme di proposizioni), e cioè una associazione tra le proposizioni elementari e le realtà rappresentate, possiamo generare un insieme infinito di proposizioni con significato definito che riguardino quella realtà. Ciascuna proposizione si riferisce quindi a uno o più oggetti della realtà rappresentata (anche astratta) e permette di descrivere o ''ragionare'' su quell'oggetto, utilizzando i due soli valori "vero" e "falso".
 
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L'alfabeto della logica proposizionale è costituito da:
 
*Un [[insieme numerabile]] di simboli di proposizione: ''<math>p'', ''q'', ''r'', ...\ldots</math>
*I simboli dei [[connettivo logico|connettivi logici]]: <math>\neg</math> (NOT), <math>\wedge</math> (AND), <math>\vee</math> (OR), →<math>\to</math> (implicazione), ↔<math>\leftrightarrow</math> (doppia implicazione)
*Le parentesi: <math>(, )</math> (hanno per lo più lo scopo di rendere il linguaggio più chiaro ed evitare ambiguità)
 
===Formule ben formate===
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<div style="float:center; width:85%; padding:15px; background: #f5f8ff; border: 1px solid blue; margin-left:8px; margin-right:8px;margin-bottom:15px; text-align:left">
#un simbolo di proposizione è una fbf
#se ''<math>A''</math> è una fbf lo è anche <math>(¬''\neg A'')</math>
#se ''<math>A''</math> e ''<math>B''</math> sono fbf allora lo sono anche (''A'' <math>(A \wedge B)</math> ''B''), (''A'' <math>(A \vee B)</math> ''B''), <math>(''A'' →\to ''B'')</math> e <math>(''A'' ↔\leftrightarrow ''B'')</math>
#niente altro è una fbf
</div>
 
Sono esempi di ''formule ben formate'':
*''<math>p''</math> (dalla regola 1)
*<math>(¬'' \neg p)''</math> (dalla regola 2 applicata alla fbf precedente)
*(''p''<math>(p \wedge</math> (¬'' \neg p)'')</math> (dalla regola 3 applicata alle due fbf precedenti)
*<math>((''p''<math> \wedge</math> (¬''\neg p''))<math>\vee (\neg p))</math>(¬''p)'') (dalla regola 3 applicata alle due fbf precedenti)
 
Sono esempi di ''non formule'' (<math>p</math> e <math>q</math> sono simboli di proposizione):
*''p'' <math>p \wedge</math> (( q </math>
*''p'' <math>p \wedge</math><math> \vee q</math> q
Stabilire il seguente ordine di precedenza dei connettivi logici, come accade per la moltiplicazione rispetto all'addizione, permette un utilizzo minore delle parentesi:
 
*<math>\neg</math>, <math>\wedge</math>, <math>\vee</math>, →<math>\to</math>, ↔<math>\leftrightarrow</math>
Per esempio ''p'' <math>p \wedge</math> <math>\neg q</math> q è la formula <math>(p <math>\wedge</math> (<math>\neg q))</math> q)).
 
Inoltre, si considerano i connettivi logici associativi a sinistra [ ''p'' <math>\wedge</math> q <math>\wedge</math> r viene reinterpretato come ((''p'' <math>\wedge</math> q) <math>\wedge</math> r) ].
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