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Numero di Skewes: differenze tra le versioni

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Nella [[teoria dei numeri]], il termine '''numero di Skewes''' indica il più piccolo [[numero naturale]] (che si è rivelato essere estremamente grande), per il quale, indicando con ''x'' taleper numero,il quale vale l'espressione
 
:<math>\pi(x) > \operatorname{Li}(x),</math>
:π {''x''} − Li {''x''} ≥ 0
dove π (x) è la [[funzione enumerativa dei primi]] (cioè il numero di [[numero primo|primi]] esistenti fino al numero ''x''), e Li (''x'') è la funzione [[logaritmo integrale]]. ▼
 
▲dove π (x) è la [[funzione enumerativa dei primi]] (cioè il numero di [[numero primo|primi]] esistenti fino al numero ''x''), e Li (''x'') è la funzione [[logaritmo integrale]].
In pratica si tratta del più piccolo numero per il quale π (x) risulta maggiore di Li (''x'').▼
 
▲In pratica si tratta del più piccolo numero (che si è rivelato essere estremamente grande) per il quale π (x) risulta maggiore di Li (''x'').
L'esistenza di tale numero fu ipotizzata dal matematico sudafricano [[Stanley Skewes]] nel [[1932]], ma solo l'anno successivo [[John Edensor Littlewood|John Littlewood]], il maestro di Skewes, dimostrò che tale numero esiste (e dunque, un tale primo numero). Littlewood provò anche che il segno della differenza π (''x'')&nbsp;–&nbsp;Li (''x'') cambia infinitamente spesso. Che tale numero esistesse non era affatto chiaro; infatti, l'evidenza numerica allora disponibile sembrava suggerire che π(''x'') fosse sempre minore di Li(''x''). La prova di Littlewood, comunque, non fornì un esempio concreto del numero ''x''; non era dunque un risultato costruttivo.▼
 
▲L'esistenza di tale numero fu ipotizzata dal matematico sudafricano [[Stanley Skewes]] nel [[19321914]], madal solo l'annomatematico successivo [[John Edensor Littlewood|John Littlewood]], ilma maestrosolo dinel Skewes,[[1932]] dimostròne chediede taleuna numero esiste (e dunque, un tale primo numero)dimostrazione. Littlewood provò anche che il segno della differenza π (''x'')&nbsp;–&nbsp;Li (''x'') cambia infinitamente spesso. Che tale numero esistesse non era affatto chiaro; infatti, l'evidenza numerica allora disponibile sembrava suggerire che π (''x'') fosse sempre minore di Li (''x'').<ref>Ancora Laoggi provail valore più grande di LittlewoodLi (x) calcolato, comunqueper x = 10<sup>24</sup>, nonè fornìnettamente unsuperiore esempioal concretovalore delcorrispondente numerodi π (''x''; non era dunque un risultato costruttivo).</ref>
Skewes, nel [[1933]], dimostrò che, assumendo che l'[[ipotesi di Riemann]] fosse vera, esiste un numero ''x'' che viola la relazione π (''x'') < Li (''x''), inferiore a
 
La dimostrazione di Littlewood, comunque, non fornì un esempio concreto del numero ''x''; non era dunque un risultato costruttivo. Il matematico sudafricano [[Stanley Skewes]], che era un allievo di Littlewood a [[università di Cambridge|Cambridge]], nel [[1933]] dimostrò che, assumendo come vera l'[[ipotesi di Riemann]], esiste un numero ''x'' per il quale π (''x'') > Li (''x''), inferiore a
:<math>e^{e^{e^{79}}}</math> ▼
 
▲:<math>e^{e^{e^{79}}}</math>
 
(chiamato talvolta '''primo numero di Skewes'''), che è approssimativamente uguale a
 
:<math>10^{10^{8,85 \times 10^{33}}}</math> <ref> Si tratta di un numero con <math>{10^{8,85 \times 10^{33}}}</math> cifre (vale a dire 8,85 milioni di miliardi di miliardi di miliardi di cifre). ScrivendoUn numero così immensamente grande è molto al di là della portata dei computer più potenti e avanzati. Volendo scrivere per esteso tale numero usando un comune blocco note a quadretti e inserendo una cifra per quadretto, si può calcolare che servirebbe un volume di carta di {{m|1,78 x 10<sup>|e=14</sup> km<sup>3</sup>|ul=km3}}, pari al volume di un cubo con lato di circa 121.000 {{m|121000|ul=km. }}</ref>
 
Nel 1955, senza l'assunzione dellche l'ipotesi di Riemann sia vera, Skewes dimostrò che deve esistere un valore di ''x'' inferiore a
 
:<math>10^{10^{10^{1000}}}</math>
 
(chiamato talvolta '''secondo numero di Skewes''').
 
Questi (enormi) estremi superiori sono stati in seguito ridotti considerevolmente. Senza assumere come vera l'ipotesi di Riemann, [[H. J. J.Herman te Riele]] nel 1987 trovò un estremo superiore di
 
:{{M|7|e=370}}
:7 × 10<sup>370</sup>.
 
Una approssimazione migliore è {{M|1,39822 × 10<sup>|e=316</sup>}}, scoperta da Bays e Hudson (2000). Il miglior valore per il primo attraversamento di zero è ora {{M|1,397162914 × 10<sup>|e=316</sup>}} ([[Patrick Demichel|Demichel]], 2005). Questo è, con un [[intervallo di confidenza]] molto elevato, il primo caso per cui si verifica π (''x'') > Li (''x'').
 
==Note==
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==Bibliografia==
* [[John Littlewood|J.E. Littlewood:]], "Sur la distribution des nombres premiers", ''Comptes Rendus'' 158 (1914), pagespp. 1869-1872▼
* S. Skewes:, "On the difference π(''x'')&nbsp;−&nbsp;{{ln}}Li(''x'')", ''Journal of the London Mathematical Society'' 8 (1933), pagespp. 277-283▼
* S. Skewes:, "On the difference π(''x'')&nbsp;−&nbsp;{{ln}}Li(''x'') (II)", ''Proceedings of the London Mathematical Society'' 5 (1955), pagespp. 48-7048–70▼
* [[H.J.J. te Riele:]], "On the difference π(''x'')&nbsp;−&nbsp;{{ln}}Li(''x'')", ''Math. Comp.'' 48 (1987), pagespp. 323-328▼
 
==Collegamenti esterni==
▲* J.E. Littlewood: "Sur la distribution des nombres premiers", ''Comptes Rendus'' 158 (1914), pages 1869-1872
* {{cita web|http://www.daviddarling.info/encyclopedia/S/Skewes_Number.html|Skewes Number|lingua=en}}
▲* S. Skewes: "On the difference π(''x'')&nbsp;−&nbsp;Li(''x'')", ''Journal of the London Mathematical Society'' 8 (1933), pages 277-283
▲* S. Skewes: "On the difference π(''x'')&nbsp;−&nbsp;Li(''x'') (II)", ''Proceedings of the London Mathematical Society'' 5 (1955), pages 48-70
▲* H.J.J. te Riele: "On the difference π(''x'')&nbsp;−&nbsp;Li(''x'')", ''Math. Comp.'' 48 (1987), pages 323-328
 
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