PerNella definizione[[teoria dei numeri]], il termine '''numero èdi Skewes''' indica il più piccolo [[numero naturale]] ''x'' per cuiil quale vale l'espressione▼{{T|lingua=inglese|argomento=matematica|data=dicembre 2006}}
Nella [[teoria dei numeri]], il termine '''numero di Skewes''' può riferirsi a più di uno dei numeri interi estremamente grandi usati dal matematico [[Sudafrica|sudafricano]] [[Stanley Skewes]].
:<math>\pi(x) > \operatorname{Li}(x),</math>
▲Per definizione, il numero è il più piccolo [[numero naturale]] ''x'' per cui
dove ππ (x) è la [[funzione enumerativa dei primi]] (cioè il numero di [[numero primo|primi]] esistenti fino al numero ''x''), e Li (''x'') è la funzione [[ funzionelogaritmo integrale logaritmico]]. ▼:π(''x'') − Li(''x'') ≥ 0
In pratica si tratta del più piccolo numero (che si è rivelato essere estremamente grande) per il quale π (x) risulta maggiore di Li (''x'').
▲dove π(x) è la [[funzione enumerativa dei primi]] e Li(''x'') è la [[funzione integrale logaritmico]].
[[JohnL'esistenza Edensordi Littlewood]],tale ilnumero maestrofu di Skewes, dimostròipotizzata nel [[1914]] chedal talematematico numero esiste[[John (eEdensor dunqueLittlewood|John Littlewood]], unma talesolo primonel numero);[[1932]] ene diede una dimostrazione. Littlewood provò anche che il segno della differenza ππ (''x'') −– Li (''x'') cambia infinitamente spesso. Che tale numero esistesse non era affatto chiaro; infatti, l'evidenza numerica allora disponibile sembrava suggerire che ππ (''x'') fosse sempre minore di Li (''x'').<ref>Ancora Laoggi provail valore più grande di LittlewoodLi (x) calcolato, comunqueper x = 10<sup>24</sup>, nonè fornìnettamente unsuperiore esempioal concretovalore delcorrispondente numerodi π (''x''; non era dunque un risultato effettivo).</ref>
La dimostrazione di Littlewood, comunque, non fornì un esempio concreto del numero ''x''; non era dunque un risultato costruttivo. Il matematico sudafricano [[Stanley Skewes]], che era un allievo di Littlewood a [[università di Cambridge|Cambridge]], nel [[1933,]] dimostrò che, assumendo checome vera l'[[ipotesi di Riemann]] fosse vera, esiste un numero ''x'' cheper violail laquale relazioneπ π(''x'') <> Li (''x''), oltreinferiore a
:<math>e^{e^{e^{79}}}</math>
(ora chiamato talvolta '''primo numero di Skewes' number'''), which ische approximatelyè equalapprossimativamente touguale a
:<math>10^{10^{8,85 \times 10^{33}}}</math> <ref>Si tratta di un numero con <math>{10^{8,85 \times 10^{33}}}</math> cifre (vale a dire 8,85 milioni di miliardi di miliardi di miliardi di cifre). Un numero così immensamente grande è molto al di là della portata dei computer più potenti e avanzati. Volendo scrivere per esteso tale numero usando un comune blocco note a quadretti e inserendo una cifra per quadretto, si può calcolare che servirebbe un volume di carta di {{m|1,78|e=14|ul=km3}}, pari al volume di un cubo con lato di circa {{m|121000|ul=km}}</ref>
:<math>10^{10^{8.85 \times 10^{33}}}</math>.
InNel 1955, withoutsenza assumingl'assunzione theche Riemannl'ipotesi hypothesisdi heRiemann managedsia tovera, proveSkewes thatdimostrò thereche mustdeve existesistere aun valuevalore ofdi ''x'' belowinferiore a
:<math>10^{10^{10^{1000}}}</math>
(sometimeschiamato calledtalvolta '''secondsecondo Skewes'numero numberdi Skewes''').
TheseQuesti (enormousenormi) upperestremi boundssuperiori havesono sincestati beenin seguito reducedridotti considerablyconsiderevolmente. WithoutSenza assumingassumere thecome vera l'ipotesi di Riemann hypothesis, [[H. J. J.Herman te Riele]] innel 1987 proved antrovò upperun boundestremo ofsuperiore di
:{{M|7|e=370}}
:7 × 10<sup>370</sup>.
AUna betterapprossimazione estimationmigliore wasè {{M|1.,39822 × 10<sup>|e=316</sup>}}, discoveredscoperta byda Bays ande Hudson (2000). TheIl bestmiglior valuevalore forper theil firstprimo crossoverattraversamento isdi nowzero è ora {{M|1.,397162914 × 10<sup>|e=316</sup>}} ([[Patrick Demichel|Demichel]], 2005). ThisQuesto isè, withcon very highun [[confidenceintervallo interval|confidencedi confidenza]] themolto elevato, il primo firstcaso occurrenceper ofcui si verifica π Li(''x'') <> Li π(''x'') [http://www.demichel.net/patrick/li_crossover_pi.pdf].
==Note==
Skewes' task was to make Littlewood's existence proof [[effective results in number theory|effective]]: exhibiting some concrete upper bound for the first sign change. According to [[George Kreisel]], this was at the time not considered obvious even in principle. The approach called ''[[unwinding]]'' in [[proof theory]] looks directly at proofs and their structure to produce bounds. The other way, more often seen in practice in number theory, changes proof structure enough so that absolute constants can be made more explicit.
<references />
==Bibliografia==
Skewes's result was celebrated partly because the proof structure used [[excluded middle]], which is not ''a priori'' a constructive argument (it divides into two cases, and it isn't computable in which case one is working).
* [[John Littlewood|J.E. Littlewood :]], "Sur la distribution des nombres premiers", ''Comptes Rendus'' 158 (1914), pagespp. 1869-1872 ▼* S. Skewes :, "On the difference ππ(''x'') − {{ln}}Li(''x'')", ''Journal of the London Mathematical Society'' 8 (1933), pagespp. 277-283 ▼* S. Skewes :, "On the difference ππ(''x'') − {{ln}}Li(''x'') (II)", ''Proceedings of the London Mathematical Society'' 5 (1955), pagespp. 48-7048–70▼* [[H.J.J. te Riele :]], "On the difference ππ(''x'') − {{ln}}Li(''x'')", ''Math. Comp.'' 48 (1987), pagespp. 323-328 ▼
==Collegamenti esterni==
Although both Skewes numbers are big compared to most numbers encountered in mathematical proofs, neither is anywhere near as big as [[Graham's number]].
* {{cita web|http://www.daviddarling.info/encyclopedia/S/Skewes_Number.html|Skewes Number|lingua=en}}
{{Portale|matematica}}
==References==
[[Categoria: NumeriTeoria dei numeri]] ▼▲* J.E. Littlewood: "Sur la distribution des nombres premiers", ''Comptes Rendus'' 158 (1914), pages 1869-1872
[[Categoria:Numeri grandi|Skewes]]
▲* S. Skewes: "On the difference π(''x'') − Li(''x'')", ''Journal of the London Mathematical Society'' 8 (1933), pages 277-283
▲* S. Skewes: "On the difference π(''x'') − Li(''x'') (II)", ''Proceedings of the London Mathematical Society'' 5 (1955), pages 48-70
▲* H.J.J. te Riele: "On the difference π(''x'') − Li(''x'')", ''Math. Comp.'' 48 (1987), pages 323-328
[[de:Skewes' Zahl]]
[[en:Skewes' number]]
[[ja:スキューズ数]]
[[ru:Число Скьюза]]
[[sv:Skewes tal]]
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