Sifat distributif

Visualisasi hukum distributif untuk bilangan positif

Dalam matematika, sifat distributif (bahasa Inggris: distributive property) adalah sifat yang mendistribusikan perkalian terhadap operasi penambahan. Sifat ini merupakan sifat dari operasi biner merupakan perumuman dari hukum distributif. Dalam aljabar dasar, hukum tersebut mengatakan bahwa persamaan $x*(y+z)=(x*y)+(x*z)$ selalu benar. Sebagai contoh, dalam aritmetika dasar, persamaan ${\textstyle 2\cdot (1+3)=(2\cdot 1)+(2\cdot 3)}$ adalah benar.

Sifat distributif dari bilangan merupakan bagian dari definisi dari hampir semua struktur aljabar yang mempunyai dua operasi dasar, yaitu penambahan dan perkalian. Struktur tersebut di antaranya bilangan kompleks, polinomial, matriks, gelanggang, dan lapangan. Sifat ini juga dipakai dalam aljabar Boole dan logika matematika, yang mengatakan bahwa masing-masing dari logika konjungsi (yang dinyatakan sebagai $\,\land \,$ ) dan logika disjungsi (yang dinyatakan sebagai $\,\lor \,$ ) mendistribusi terhadap operasi lain.

Definisi

Diberikan sebuah himpunan $S$ dan dua operator biner $*$ dan $+$ pada $S$ . Jika diberikan setiap anggota $x$ , $y$ , dan $z$ dari $S$ , maka operasi $*$ disebut distributif di kiri terhadap operasi $+$ , yang ditulis sebagai

$x*(y+z)=(x*y)+(x*z).$

Operasi $*$ disebut distributif di kanan terhadap operasi $+$ , jika diberikan setiap anggota $x$ , $y$ , dan $z$ dari $S$ , yang ditulis sebagai

$(y+z)*x=(y*x)+(z*x).$

Operasi $*$ disebut distributif terhadap operasi $+$ , jika $*$ distributif di kiri maupun di kanan.^[1] Perhatikan bahwa ketika $*$ bersifat komutatif, maka secara logika, ketiga syarat di atas ekuivalen.

Pengertian

Operator yang digunakan untuk contoh di bagian ini adalah operator penambahan ( $+$ ) dan perkalian ( $\cdot$ ). Jika operasi yang dilambangkan dengan $\cdot$ tidak komutatif, maka terdapat perbedaan pada sifat distribusi di kiri dan distribusi di kanan:

${\begin{aligned}a\cdot \left(b\pm c\right)&=a\cdot b\pm a\cdot c\\(a\pm b)\cdot c&=a\cdot c\pm b\cdot c\end{aligned}}$

Sifat pertama merupakan sifat distribusi di kiri, sedangkan yang kedua merupakan sifat distribusi di kanan. Pada kedua kasus tersebut, sifat distributif dapat dijelaskan sebagai berikut:

Untuk mengalikan penjumlahan (atau selisih) dengan sebuah faktor bilangan, setiap jumlah (atau kinurang) dikalikan dengan sebuah faktor bilangan, dan hasil dari perkalian tersebut kemudian ditambahkan (atau dikurangi).
Jika sifat yang terdapat operasi di luar tanda kurung bersifat komutatif (yaitu perkalian), maka definisi dari sifat distribusi di kiri menyiratkan sifat distribusi di kanan. Hal itu berlaku pula untuk sebaliknya.

Ada sebuah contoh operasi yang "hanya" distribusi di kanan. Sebagai contoh, operasi pembagian yang sifatnya tidak komutatif:

$(a\pm b)\div c=a\div c\pm b\div c$

Dalam kasus ini, distributif di kiri tidak berlaku untuk:

$a\div (b\pm c)\neq a\div b\pm a\div c$

Hukum distributif ditemukan di antara aksioma untuk gelanggang (seperti gelanggang dari bilangan bulat) dan lapangan (seperti lapangan dari bilangan rasional). Operasi perkalian pada hukum ini bersifat distributif terhadap penambahan, sedangkan penambahan tidak distributif terhadap perkalian. Contoh struktur yang melibatkan dua operasi yang masing-masing distributif terhadap dengan yang lain adalah aljabar Boole.

Perkalian antara operasi penjumlahan dapat dijelaskan sebagai berikut: Ketika sebuah operasi penjumlahan dikalikan dengan operasi penjumlahan, kalikan setiap jumlah dari penjumlahan dengan setiap penjumlahan dari jumlah lainnya,^{[C 1]} lalu jumlahkan semuanya setelah mengalikannya.

Logika proposisional

Aturan penggantian

Dalam logika proposisional kebenaran-fungsional standar, distribusi^[2]^[3] dalam pembuktian logika menggunakan dua aturan penggantian yang valid untuk memperluas kejadian individu dari perangkai logika dalam suatu rumus ke penerapan yang terpisah dari perangkai tersebut di antara subrumus dari rumus. Aturan tersebut dinyatakan sebagai

$(P\land (Q\lor R))\Leftrightarrow ((P\land Q)\lor (P\land R))$ dan

$(P\lor (Q\land R))\Leftrightarrow ((P\lor Q)\land (P\lor R))$

dengan " $\Leftrightarrow$ ", atau ditulis $\equiv$ , merupakan simbol metalogik.

Perangkai fungsional kebenaran

Distributivitas merupakan sifat dari suatu perangkai logika dari logika proposisional fungsi kebenaran. Di bawah berikut merupakan persamaan logika yang memperlihatkan bahwa distributivitas adalah sifat dari perangkai yang bersifat khusus, serta merupakan tautologi fungsi kebenaran ${\begin{alignedat}{13}&(P&&\;\land &&(Q\lor R))&&\;\Leftrightarrow \;&&((P\land Q)&&\;\lor (P\land R))&&\quad {\text{ Distribusi dari }}&&{\text{ konjungsi }}&&{\text{ terhadap }}&&{\text{ disjungsi }}\\&(P&&\;\lor &&(Q\land R))&&\;\Leftrightarrow \;&&((P\lor Q)&&\;\land (P\lor R))&&\quad {\text{ Distribusi dari }}&&{\text{ disjungsi }}&&{\text{ terhadap }}&&{\text{ konjungsi }}\\&(P&&\;\land &&(Q\land R))&&\;\Leftrightarrow \;&&((P\land Q)&&\;\land (P\land R))&&\quad {\text{ Distribusi dari }}&&{\text{ konjungsi }}&&{\text{ terhadap }}&&{\text{ konjungsi }}\\&(P&&\;\lor &&(Q\lor R))&&\;\Leftrightarrow \;&&((P\lor Q)&&\;\lor (P\lor R))&&\quad {\text{ Distribusi dari }}&&{\text{ disjungsi }}&&{\text{ terhadap }}&&{\text{ disjungsi }}\\&(P&&\to &&(Q\to R))&&\;\Leftrightarrow \;&&((P\to Q)&&\to (P\to R))&&\quad {\text{ Distribusi dari }}&&{\text{ implikasi }}&&{\text{ }}&&{\text{ }}\\&(P&&\to &&(Q\leftrightarrow R))&&\;\Leftrightarrow \;&&((P\to Q)&&\leftrightarrow (P\to R))&&\quad {\text{ Distribusi dari }}&&{\text{ implikasi }}&&{\text{ terhadap }}&&{\text{ ekuivalensi }}\\&(P&&\to &&(Q\land R))&&\;\Leftrightarrow \;&&((P\to Q)&&\;\land (P\to R))&&\quad {\text{ Distribusi dari }}&&{\text{ implikasi }}&&{\text{ terhadap }}&&{\text{ konjungsi }}\\&(P&&\;\lor &&(Q\leftrightarrow R))&&\;\Leftrightarrow \;&&((P\lor Q)&&\leftrightarrow (P\lor R))&&\quad {\text{ Distribusi dari }}&&{\text{ disjungsi }}&&{\text{ terhadap }}&&{\text{ ekuivalensi }}\\\end{alignedat}}$

Distribusi ganda: ${\begin{aligned}((P\land Q)\lor (R\land S))&\Leftrightarrow (((P\lor R)\land (P\lor S))\land ((Q\lor R)\land (Q\lor S)))\\((P\lor Q)\land (R\lor S))&\Leftrightarrow (((P\land R)\lor (P\land S))\lor ((Q\land R)\lor (Q\land S)))\end{aligned}}$

Catatan

^ Perhatikan tanda-tanda operasi saat mengalikannya.

Rujukan

^ Distributivity of Binary Operations from Mathonline
^ Elliott Mendelson (1964) Introduction to Mathematical Logic, page 21, D. Van Nostrand Company
^ Alfred Tarski (1941) Introduction to Logic, page 52, Oxford University Press

Pranala luar

A demonstration of the Distributive Law for integer arithmetic (from cut-the-knot)

[2] Perhatikan tanda-tanda operasi saat mengalikannya.

[1] Distributivity of Binary Operations from Mathonline

[3] Elliott Mendelson (1964) Introduction to Mathematical Logic, page 21, D. Van Nostrand Company

[4] Alfred Tarski (1941) Introduction to Logic, page 52, Oxford University Press

[1]

[C 1]

[2]

[3]